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数学3 定積分・面積問題 208 解説

方針・初手

(1) は、$\sin^{n+1}\theta = \sin\theta \sin^n\theta$ と分解し、部分積分法を用いて定積分の漸化式を導出する。

(2) は、定積分で表された関数 $f(x)$ の微分を計算する。積分変数が $\theta$ であることに注意し、$x$ を積分の外にくくり出してから両辺を $x$ で微分する。その後、(1) の結果を利用して式を整理し、$a > \frac{3}{2}$ の条件から自然数 $n$ の値を絞り込む。

(3) は、(2) で求めた $n$ と $a$ の値を $f(x)$ に代入し、具体的な関数の定積分を計算する。三角関数の半角の公式（2倍角の公式）を用いて次数を下げ、部分積分を利用して計算を進める。

解法1

(1)

部分積分法を用いて計算する。

$$\begin{aligned} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n+1}\theta d\theta &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} (-\cos\theta)' \sin^n\theta d\theta \\ &= \left[ -\cos\theta \sin^n\theta \right]_0^{\frac{\pi}{2}} - \int_0^{\frac{\pi}{2}} (-\cos\theta) \cdot n\sin^{n-1}\theta \cos\theta d\theta \\ &= 0 + n \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2\theta \sin^{n-1}\theta d\theta \end{aligned}$$

$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ であるから、

$$\begin{aligned} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n+1}\theta d\theta &= n \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 - \sin^2\theta) \sin^{n-1}\theta d\theta \\ &= n \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-1}\theta d\theta - n \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n+1}\theta d\theta \end{aligned}$$

右辺の $-n \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n+1}\theta d\theta$ を左辺に移項して整理すると、

$$(n+1) \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n+1}\theta d\theta = n \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-1}\theta d\theta$$

両辺を $n+1 \ (\neq 0)$ で割ることで、次が示される。

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n+1}\theta d\theta = \frac{n}{n+1} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-1}\theta d\theta$$

(2)

与えられた関数 $f(x)$ の式を展開し、$x$ について整理する。

$$f(x) = x \int_0^x (a\sin^{n+1}\theta - \sin^{n-1}\theta) d\theta - \int_0^x \theta (a\sin^{n+1}\theta - \sin^{n-1}\theta) d\theta$$

両辺を $x$ で微分する。積の微分公式より、

$$\begin{aligned} f'(x) &= 1 \cdot \int_0^x (a\sin^{n+1}\theta - \sin^{n-1}\theta) d\theta + x(a\sin^{n+1}x - \sin^{n-1}x) - x(a\sin^{n+1}x - \sin^{n-1}x) \\ &= \int_0^x (a\sin^{n+1}\theta - \sin^{n-1}\theta) d\theta \end{aligned}$$

$x = \frac{\pi}{2}$ を代入すると、

$$f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = a \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n+1}\theta d\theta - \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-1}\theta d\theta$$

(1) の結果を代入すると、

$$\begin{aligned} f'\left(\frac{\pi}{2}\right) &= a \cdot \frac{n}{n+1} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-1}\theta d\theta - \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-1}\theta d\theta \\ &= \left( \frac{an}{n+1} - 1 \right) \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-1}\theta d\theta \end{aligned}$$

ここで、区間 $\left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$ において常に $\sin^{n-1}\theta > 0$ であり、被積分関数が連続かつ非負なので、

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-1}\theta d\theta > 0$$

したがって、$f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$ が成り立つための条件は、

$$\frac{an}{n+1} - 1 = 0 \iff a = \frac{n+1}{n} = 1 + \frac{1}{n}$$

問題の条件より $a > \frac{3}{2}$ であるから、

$$1 + \frac{1}{n} > \frac{3}{2} \iff \frac{1}{n} > \frac{1}{2} \iff n < 2$$

$n$ は自然数であるため、$n = 1$ に限られる。

このとき、$a$ の値は、

$$a = 1 + \frac{1}{1} = 2$$

よって、$n=1, a=2$ である。

(3)

(2) の結果より $n=1, a=2$ である。これを $f(x)$ に代入する。ただし、問題の条件より $n=1$ のときは $\sin^0\theta = 1$ と解釈する。

$$f(x) = \int_0^x (x - \theta)(2\sin^2\theta - 1) d\theta$$

2倍角の公式 $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$ より、$2\sin^2\theta - 1 = -\cos 2\theta$ であるから、

$$f(x) = \int_0^x (x - \theta)(-\cos 2\theta) d\theta$$

$x = \frac{\pi}{2}$ のとき、

$$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)(-\cos 2\theta) d\theta$$

部分積分法を用いて定積分を計算する。

$$\begin{aligned} f\left(\frac{\pi}{2}\right) &= \left[ \left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) \left(-\frac{1}{2}\sin 2\theta\right) \right]_0^{\frac{\pi}{2}} - \int_0^{\frac{\pi}{2}} (-1) \cdot \left(-\frac{1}{2}\sin 2\theta\right) d\theta \\ &= 0 - \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2\theta d\theta \\ &= -\frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{2}\cos 2\theta \right]_0^{\frac{\pi}{2}} \\ &= \frac{1}{4} (\cos \pi - \cos 0) \\ &= \frac{1}{4} (-1 - 1) \\ &= -\frac{1}{2} \end{aligned}$$