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数学3 定積分・面積問題 209 解説

方針・初手

絶対値を含む定積分は、積分区間における被積分関数の正負で場合分けをして絶対値を外すのが基本である。(1)では $0 < t < a$ であることに注意し、$0 \le x \le t$ と $t \le x \le a$ で区間を分けて積分を計算する。(2)では(1)で求めた $f(t)$ を $t$ で微分し、増減表を書いて最小値を求める。(3)では $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$ などの三角関数の極限の基本公式に帰着させる。

解法1

(1)

積分区間は $0 \le x \le a$ であり、$0 < t < a < \frac{\pi}{2}$ である。 $0 \le x \le t$ のとき、$\sin x \le \sin t$ であるから $|\sin x - \sin t| = \sin t - \sin x$ $t \le x \le a$ のとき、$\sin x \ge \sin t$ であるから $|\sin x - \sin t| = \sin x - \sin t$

これより、関数 $f(t)$ は次のように絶対値を外して計算できる。

$$\begin{aligned} f(t) &= \int_0^a |\sin x - \sin t| dx \\ &= \int_0^t (\sin t - \sin x) dx + \int_t^a (\sin x - \sin t) dx \end{aligned}$$

それぞれの定積分を計算する。

$$\begin{aligned} \int_0^t (\sin t - \sin x) dx &= \left[ x\sin t + \cos x \right]_0^t \\ &= (t\sin t + \cos t) - (0 + 1) \\ &= t\sin t + \cos t - 1 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \int_t^a (\sin x - \sin t) dx &= \left[ -\cos x - x\sin t \right]_t^a \\ &= (-\cos a - a\sin t) - (-\cos t - t\sin t) \\ &= \cos t + t\sin t - \cos a - a\sin t \end{aligned}$$

ゆえに、$f(t)$ は以下のようになる。

$$\begin{aligned} f(t) &= (t\sin t + \cos t - 1) + (\cos t + t\sin t - \cos a - a\sin t) \\ &= 2t\sin t + 2\cos t - a\sin t - \cos a - 1 \end{aligned}$$

(2)

(1) の結果より、$f(t)$ を $t$ で微分する。

$$\begin{aligned} f'(t) &= 2\sin t + 2t\cos t - 2\sin t - a\cos t \\ &= (2t - a)\cos t \end{aligned}$$

$0 < t < a < \frac{\pi}{2}$ において $\cos t > 0$ であるから、$f'(t)$ の符号は $2t - a$ の符号と一致する。 $f'(t) = 0$ となるのは $t = \frac{a}{2}$ のときであり、$0 < t < a$ における $f(t)$ の増減表は次のようになる。

$t$	$0$	$\cdots$	$\frac{a}{2}$	$\cdots$	$a$
$f'(t)$		$-$	$0$	$+$
$f(t)$		$\searrow$	極小	$\nearrow$

増減表より、$f(t)$ は $t = \frac{a}{2}$ のとき最小値をとる。よって、求める最小値 $g(a)$ は次のようになる。

$$\begin{aligned} g(a) &= f\left(\frac{a}{2}\right) \\ &= 2 \cdot \frac{a}{2} \sin\frac{a}{2} + 2\cos\frac{a}{2} - a\sin\frac{a}{2} - \cos a - 1 \\ &= a\sin\frac{a}{2} + 2\cos\frac{a}{2} - a\sin\frac{a}{2} - \cos a - 1 \\ &= 2\cos\frac{a}{2} - \cos a - 1 \end{aligned}$$

(3)

(2) で求めた $g(a)$ について、$\cos a = 2\cos^2\frac{a}{2} - 1$ を用いて変形する。

$$\begin{aligned} g(a) &= 2\cos\frac{a}{2} - (2\cos^2\frac{a}{2} - 1) - 1 \\ &= 2\cos\frac{a}{2} - 2\cos^2\frac{a}{2} \\ &= 2\cos\frac{a}{2} \left( 1 - \cos\frac{a}{2} \right) \end{aligned}$$

これを用いて極限を計算する。

$$\begin{aligned} \lim_{a \to +0} \frac{g(a)}{a^2} &= \lim_{a \to +0} \frac{2\cos\frac{a}{2} \left( 1 - \cos\frac{a}{2} \right)}{a^2} \\ &= \lim_{a \to +0} \left( 2\cos\frac{a}{2} \cdot \frac{1 - \cos\frac{a}{2}}{4\left(\frac{a}{2}\right)^2} \right) \\ &= \lim_{a \to +0} \left( \frac{1}{2} \cos\frac{a}{2} \cdot \frac{1 - \cos\frac{a}{2}}{\left(\frac{a}{2}\right)^2} \right) \end{aligned}$$

ここで、$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$ を用いる（$x = \frac{a}{2}$ とする）と、

$$\lim_{a \to +0} \frac{g(a)}{a^2} = \frac{1}{2} \cdot \cos 0 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$

となる。

解説

定積分で表された関数の最大・最小を問う典型的な微積分の問題である。 (1) では被積分関数の絶対値を外すために積分区間を分割するが、変数 $x$ の積分であるため、$t$ は定数として扱うことに注意して計算ミスを防ぎたい。 (2) は(1)で求めた関数を $t$ で微分するだけであるが、$\cos t > 0$ という条件から $f'(t)$ の符号が $2t - a$ のみで決まることに言及しておく必要がある。 (3) の三角関数の極限では、$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$ の形を作り出すのが定石である。半角の公式を用いて $1 - \cos\frac{a}{2} = 2\sin^2\frac{a}{4}$ と変形し、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ に帰着させてもよい。