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数学3 定積分・面積問題 210 解説

方針・初手

(1) は、$\sin^3 t = \sin t (1 - \cos^2 t)$ と変形して置換積分法を利用するか、3倍角の公式を用いて次数を下げることで積分を計算する。

(2) は、被積分関数に $x$ と $t$ が混在しているため、$x$ に無関係な $e^{3x}$ を積分の外に出してから微分する。

(3) は、(2) の結果と (1) の計算結果を組み合わせ、三角関数の多項式として符号を判定する。

解法1

(1)

$\sin^3 t = \sin t (1 - \cos^2 t)$ と変形する。

$$\begin{aligned} \int_0^x \sin^3 t \, dt &= \int_0^x \sin t (1 - \cos^2 t) \, dt \\ &= \left[ -\cos t + \frac{1}{3}\cos^3 t \right]_0^x \\ &= \left(-\cos x + \frac{1}{3}\cos^3 x\right) - \left(-1 + \frac{1}{3}\right) \\ &= \frac{1}{3}\cos^3 x - \cos x + \frac{2}{3} \end{aligned}$$

(2)

与えられた関数 $F(x)$ は、積分変数 $t$ と無関係な $x$ を積分の外にくくり出すことができる。

$$\begin{aligned} F(x) &= \int_0^x (e^{3x} - e^{3t}) \sin^3 t \, dt \\ &= e^{3x} \int_0^x \sin^3 t \, dt - \int_0^x e^{3t} \sin^3 t \, dt \end{aligned}$$

これを $x$ について微分すると、積の微分公式より

$$\begin{aligned} F'(x) &= (e^{3x})' \int_0^x \sin^3 t \, dt + e^{3x} \left( \int_0^x \sin^3 t \, dt \right)' - \left( \int_0^x e^{3t} \sin^3 t \, dt \right)' \\ &= 3e^{3x} \int_0^x \sin^3 t \, dt + e^{3x} \sin^3 x - e^{3x} \sin^3 x \\ &= 3e^{3x} \int_0^x \sin^3 t \, dt \end{aligned}$$

となる。

(3)

(2) の結果に (1) の結果を代入する。

$$\begin{aligned} F'(x) &= 3e^{3x} \left( \frac{1}{3}\cos^3 x - \cos x + \frac{2}{3} \right) \\ &= e^{3x} (\cos^3 x - 3\cos x + 2) \end{aligned}$$

ここで、$f(\cos x) = \cos^3 x - 3\cos x + 2$ とおく。因数分解すると、

$$f(\cos x) = (\cos x - 1)^2 (\cos x + 2)$$

となる。

すべての実数 $x$ において $-1 \leqq \cos x \leqq 1$ であるから、

$$(\cos x - 1)^2 \geqq 0$$

$$\cos x + 2 \geqq 1 > 0$$

である。したがって、$f(\cos x) \geqq 0$ が成り立つ。

また、$e^{3x} > 0$ であるから、

$$F'(x) = e^{3x} f(\cos x) \geqq 0$$

となり、$F'(x) \geqq 0$ が示された。

解法2

(1) について、3倍角の公式を利用する解法。

3倍角の公式 $\sin 3t = 3\sin t - 4\sin^3 t$ より、$\sin^3 t = \frac{3\sin t - \sin 3t}{4}$ である。

$$\begin{aligned} \int_0^x \sin^3 t \, dt &= \int_0^x \frac{3\sin t - \sin 3t}{4} \, dt \\ &= \frac{1}{4} \left[ -3\cos t + \frac{1}{3}\cos 3t \right]_0^x \\ &= \frac{1}{4} \left( -3\cos x + \frac{1}{3}\cos 3x \right) - \frac{1}{4} \left( -3 + \frac{1}{3} \right) \\ &= \frac{1}{12}\cos 3x - \frac{3}{4}\cos x + \frac{2}{3} \end{aligned}$$

解説

定積分で表された関数の微分の基本問題である。$\int_0^x f(x, t) dt$ の形の関数を $x$ で微分する際は、積分変数 $t$ と無関係な $x$ を積分の外に出してから計算を行うのが定石である。本問では $e^{3x}$ を積分の外にくくり出すことで、微分した際に不要な部分が打ち消し合い、$F'(x)$ が (1) の積分結果を用いて簡潔に表せるようになっている。式の見通しをよくするために、基本に忠実な変形を心がけたい。また、不等式の証明では、因数定理を用いて式を積の形に持ち込み、各因数の符号を判定する手法が有効である。