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数学3 定積分・面積問題 211 解説

方針・初手

前半の等式の証明は、$t = \frac{\pi}{2} - x$ とおく置換積分による。

後半の定積分は、前半で示した等式を利用する。求める定積分を $I$ とおいて等式を適用した式を作り、元の $I$ との和を計算することで、複雑な被積分関数を簡単な形に簡約化する。

解法1

まず、等式 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} f\left(\frac{\pi}{2} - x\right) dx$ が成り立つことを証明する。

右辺の定積分において、$t = \frac{\pi}{2} - x$ とおくと、$x = \frac{\pi}{2} - t$ であり、

$$\frac{dx}{dt} = -1$$

となる。また、$x$ と $t$ の対応は以下のようになる。

$x : 0 \to \frac{\pi}{2}$ のとき、$t : \frac{\pi}{2} \to 0$

したがって、

$$\begin{aligned} \int_0^{\frac{\pi}{2}} f\left(\frac{\pi}{2} - x\right) dx &= \int_{\frac{\pi}{2}}^0 f(t) \cdot (-1) dt \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(t) dt \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) dx \end{aligned}$$

となり、与えられた等式は成り立つことが示された。

次に、この等式を利用して定積分の値を求める。

$$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin 3x}{\sin x + \cos x} dx$$

とおく。関数 $f(x) = \frac{\sin 3x}{\sin x + \cos x}$ は、区間 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ において分母が $0$ にならないため連続である。ここで前半で示した等式を用いると、

$$\begin{aligned} I &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin \left\{3\left(\frac{\pi}{2} - x\right)\right\}}{\sin \left(\frac{\pi}{2} - x\right) + \cos \left(\frac{\pi}{2} - x\right)} dx \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin \left(\frac{3}{2}\pi - 3x\right)}{\cos x + \sin x} dx \end{aligned}$$

ここで、$\sin \left(\frac{3}{2}\pi - \theta\right) = -\cos \theta$ であるから、

$$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{-\cos 3x}{\sin x + \cos x} dx$$

となる。これと元の $I$ の式を辺々足し合わせると、

$$2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin 3x - \cos 3x}{\sin x + \cos x} dx$$

を得る。被積分関数の分子について、3倍角の公式 $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$ および $\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x$ を用いて変形する。

$$\begin{aligned} \sin 3x - \cos 3x &= (3\sin x - 4\sin^3 x) - (4\cos^3 x - 3\cos x) \\ &= 3(\sin x + \cos x) - 4(\sin^3 x + \cos^3 x) \end{aligned}$$

さらに、因数分解の公式 $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ を用いると、

$$\begin{aligned} \sin^3 x + \cos^3 x &= (\sin x + \cos x)(\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x) \\ &= (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) \end{aligned}$$

であるから、

$$\begin{aligned} \sin 3x - \cos 3x &= 3(\sin x + \cos x) - 4(\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) \\ &= (\sin x + \cos x)\{3 - 4(1 - \sin x \cos x)\} \\ &= (\sin x + \cos x)(4\sin x \cos x - 1) \end{aligned}$$

となる。これを $2I$ の式に代入すると、分母分子で $\sin x + \cos x$ が約分され、

$$\begin{aligned} 2I &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{(\sin x + \cos x)(4\sin x \cos x - 1)}{\sin x + \cos x} dx \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} (4\sin x \cos x - 1) dx \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} (2\sin 2x - 1) dx \end{aligned}$$

となる。この定積分を計算する。

$$\begin{aligned} 2I &= \left[ -\cos 2x - x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} \\ &= \left( -\cos \pi - \frac{\pi}{2} \right) - (-\cos 0 - 0) \\ &= \left( 1 - \frac{\pi}{2} \right) - (-1) \\ &= 2 - \frac{\pi}{2} \end{aligned}$$

したがって、求める定積分の値は

$$I = 1 - \frac{\pi}{4}$$

である。