数学3 定積分・面積 問題 217 解説

方針・初手

階乗を含む数列の $n$ 乗根の極限であるため、自然対数をとり、区分求積法に持ち込むことを考える。根号の外にある $\frac{1}{n}$ を $\left(\frac{1}{n^n}\right)^{\frac{1}{n}}$ と見て根号の中に入れ、積をシグマを用いた和の形に変換する。

解法1

与えられた数列の一般項を $a_n = \frac{1}{n} \sqrt[n]{\frac{(4n)!}{(3n)!}}$ とおく。

$$a_n = \left\{ \frac{1}{n^n} \frac{(4n)!}{(3n)!} \right\}^{\frac{1}{n}}$$

括弧の中の式について、分子の $(4n)!$ を $(3n)!$ で割ると $n$ 個の整数の積になることに着目して変形する。

$$\begin{aligned} \frac{(4n)!}{n^n (3n)!} &= \frac{(3n+1)(3n+2)\cdots(3n+n)}{n^n} \\ &= \prod_{k=1}^n \frac{3n+k}{n} \\ &= \prod_{k=1}^n \left( 3 + \frac{k}{n} \right) \end{aligned}$$

したがって、一般項 $a_n$ は次のように表される。

$$a_n = \left\{ \prod_{k=1}^n \left( 3 + \frac{k}{n} \right) \right\}^{\frac{1}{n}}$$

両辺の自然対数をとると、対数の性質より積が和に変換される。

$$\log a_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \log \left( 3 + \frac{k}{n} \right)$$

$n \to \infty$ としたときの極限を区分求積法を用いて計算する。

$$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty} \log a_n &= \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \log \left( 3 + \frac{k}{n} \right) \\ &= \int_0^1 \log(3+x) dx \end{aligned}$$

この定積分を、部分積分法を用いて計算する。$1 = (3+x)'$ とみなすと計算が容易になる。

$$\begin{aligned} \int_0^1 \log(3+x) dx &= \int_0^1 (3+x)' \log(3+x) dx \\ &= \Big[ (3+x)\log(3+x) \Big]_0^1 - \int_0^1 (3+x) \cdot \frac{1}{3+x} dx \\ &= (4\log 4 - 3\log 3) - \int_0^1 1 dx \\ &= 4\log 4 - 3\log 3 - \Big[ x \Big]_0^1 \\ &= 4\log 4 - 3\log 3 - 1 \end{aligned}$$

得られた結果を1つの対数にまとめる。$1 = \log e$ であるから、

$$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty} \log a_n &= \log 4^4 - \log 3^3 - \log e \\ &= \log 256 - \log 27 - \log e \\ &= \log \frac{256}{27e} \end{aligned}$$

対数関数 $y = \log x$ は連続関数であるため、極限と対数の順序を入れ替えることができる。

$$\log \left( \lim_{n\to\infty} a_n \right) = \log \frac{256}{27e}$$

よって、真数を比較して求める極限値を得る。

$$\lim_{n\to\infty} a_n = \frac{256}{27e}$$

解説

「階乗の商を含む積の極限で $n$ 乗根がついているパターン」は、対数をとって和の形にし、区分求積法に帰着させるのが典型的な定石である。 $\frac{1}{n}$ を根号の中に入れ、$n$ 個の積の各項に $\frac{1}{n}$ を分配することで、区分求積法で使える $\frac{k}{n}$ の形を作り出すのがポイントである。 また、定積分の計算において、$\int \log(x+a) dx$ を計算する際、$(x)' \log(x+a)$ ではなく $(x+a)' \log(x+a)$ とみて部分積分を行うと、あとの積分が約分されて定数の積分になるため、計算の負担とミスを大幅に減らすことができる。

答え

$$\frac{256}{27e}$$