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数学3 定積分・面積問題 218 解説

方針・初手

与えられた式は「$n$ を含む項の和の極限」の形をしており、かつ $\frac{1}{n}$ をくくり出せる形であることから、区分求積法の利用を第一に考えます。区分求積法を適用するためには、一般項の式変形を行い、全体を $\frac{1}{n} \sum f\left(\frac{k}{n}\right)$ の形に整える必要があります。その後、極限を定積分に変換し、得られた積分を適切に計算して値を求めます。

解法1

与えられた極限の式の括弧内はシグマを用いて表すことができる。与式を $S$ とおくと、

$$S = \lim_{n \to \infty} \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sin \frac{\pi(n+k)}{4n}}$$

となる。ここで、正弦関数の偏角の部分を変形すると、

$$\frac{\pi(n+k)}{4n} = \frac{\pi}{4} \left( 1 + \frac{k}{n} \right) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} \cdot \frac{k}{n}$$

であるから、

$$S = \pi \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sin \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} \cdot \frac{k}{n} \right)}$$

と表せる。区分求積法により、極限を定積分に変換すると、

$$S = \pi \int_{0}^{1} \frac{1}{\sin \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} x \right)} dx$$

となる。この定積分を計算するために、$t = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} x$ とおく。両辺を $x$ で微分すると $\frac{dt}{dx} = \frac{\pi}{4}$ より $dx = \frac{4}{\pi} dt$ である。 $x$ が $0$ から $1$ まで変化するとき、$t$ は $\frac{\pi}{4}$ から $\frac{\pi}{2}$ まで変化する。したがって、

$$S = \pi \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin t} \cdot \frac{4}{\pi} dt = 4 \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin t} dt$$

となる。この被積分関数の分母と分子に $\sin t$ をかけると、

$$S = 4 \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin t}{\sin^2 t} dt = 4 \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin t}{1 - \cos^2 t} dt$$

と変形できる。ここで、$u = \cos t$ とおくと、$\frac{du}{dt} = -\sin t$ より $\sin t dt = -du$ である。 $t$ が $\frac{\pi}{4}$ から $\frac{\pi}{2}$ まで変化するとき、$u$ は $\frac{1}{\sqrt{2}}$ から $0$ まで変化する。よって、

$$S = 4 \int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{0} \frac{1}{1 - u^2} (-du) = 4 \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{1}{1 - u^2} du$$

となる。被積分関数を部分分数分解すると、

$$\frac{1}{1 - u^2} = \frac{1}{(1-u)(1+u)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1+u} + \frac{1}{1-u} \right)$$

となるから、積分を実行して、

$$S = 4 \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1+u} + \frac{1}{1-u} \right) du$$

$$S = 2 \left[ \log(1+u) - \log(1-u) \right]_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}$$

$$S = 2 \left[ \log \frac{1+u}{1-u} \right]_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}$$

と計算できる。$u = \frac{1}{\sqrt{2}}$ を代入すると、

$$\frac{1 + \frac{1}{\sqrt{2}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{(\sqrt{2} + 1)^2}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = (\sqrt{2} + 1)^2$$

となるため、求める極限値は、

$$S = 2 \left( \log (\sqrt{2} + 1)^2 - \log 1 \right) = 4\log(\sqrt{2} + 1)$$

となる。

解法2

区分求積法により、極限値を

$$S = 4 \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin t} dt$$

と導くところまでは解法1と同様である。この定積分を計算するための別の方法を示す。

$v = \tan \frac{t}{2}$ とおく。 $t = 2 \arctan v$ より $dt = \frac{2}{1+v^2} dv$ である。また、三角関数の性質から、

$$\sin t = \frac{2\sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2}}{\cos^2 \frac{t}{2} + \sin^2 \frac{t}{2}} = \frac{2\tan \frac{t}{2}}{1 + \tan^2 \frac{t}{2}} = \frac{2v}{1+v^2}$$

と表せる。 $t$ が $\frac{\pi}{4}$ から $\frac{\pi}{2}$ まで変化するとき、$v$ の積分区間は $\tan \frac{\pi}{8}$ から $\tan \frac{\pi}{4}$ となる。ここで $\tan \frac{\pi}{8}$ の値を求める。半角の公式より、

$$\tan^2 \frac{\pi}{8} = \frac{1 - \cos \frac{\pi}{4}}{1 + \cos \frac{\pi}{4}} = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}{1 + \frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1} = (\sqrt{2} - 1)^2$$

$\tan \frac{\pi}{8} > 0$ であるから、$\tan \frac{\pi}{8} = \sqrt{2} - 1$ である。また、$\tan \frac{\pi}{4} = 1$ である。したがって、

$$S = 4 \int_{\sqrt{2}-1}^{1} \frac{1+v^2}{2v} \cdot \frac{2}{1+v^2} dv$$

$$S = 4 \int_{\sqrt{2}-1}^{1} \frac{1}{v} dv$$

$$S = 4 \left[ \log v \right]_{\sqrt{2}-1}^{1}$$

$$S = 4 \left( \log 1 - \log(\sqrt{2}-1) \right)$$

$$S = -4 \log(\sqrt{2}-1)$$

となる。ここで、対数の性質から、

$$-\log(\sqrt{2}-1) = \log(\sqrt{2}-1)^{-1} = \log \frac{1}{\sqrt{2}-1} = \log(\sqrt{2}+1)$$

であるから、求める極限値は $4\log(\sqrt{2}+1)$ となる。

解説

区分求積法の典型的な問題です。和の極限において中身が $n$ と $k$ の式で表されている場合、$\frac{1}{n}$ をくくり出し、残りの部分を $\frac{k}{n}$ を変数とする関数の形に整えるのが定石です。

極限を定積分に直したあとに現れる $\int \frac{1}{\sin x} dx$ の計算は大学入試で頻出です。解法1のように分母分子に $\sin x$ をかけて $\cos x = u$ と置換し、部分分数分解に持ち込む方法が最も標準的で汎用性があります。一方、解法2のように $v = \tan \frac{x}{2}$ と置換する方法も、三角関数の有理関数化として知られる強力な手法です。少し計算が特殊になりますが、特定の積分を機械的に解くことができるため、計算手法の一つとして習熟しておくと有用です。