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数学3 定積分・面積問題 219 解説

方針・初手

極限の式に $\sum$ 記号と $n \to \infty$ が含まれていることから、区分求積法の利用を考える。式全体を $\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right)$ の形に変形することが最初の目標となる。分母の累乗の指数に注目し、$\frac{1}{n}$ と $\frac{k}{n}$ の塊を作り出すように式を整理する。

解法1

与えられた極限の式を変形する。分母の $n^{\frac{2m-1}{m}}$ について、指数法則を用いて次のように分解する。

$$n^{\frac{2m-1}{m}} = n^{\frac{m + (m-1)}{m}} = n^{1 + \frac{m-1}{m}} = n \cdot n^{\frac{m-1}{m}}$$

これを用いて与式を変形していく。

$$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{\frac{2m-1}{m}}} \sum_{k=1}^n k^{\frac{m-1}{m}} &= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n \cdot n^{\frac{m-1}{m}}} \sum_{k=1}^n k^{\frac{m-1}{m}} \\ &= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{k^{\frac{m-1}{m}}}{n^{\frac{m-1}{m}}} \\ &= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \left( \frac{k}{n} \right)^{\frac{m-1}{m}} \end{aligned}$$

これは区分求積法の基本形 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 f(x) dx$ に当てはめることができる。関数 $f(x) = x^{\frac{m-1}{m}}$ は閉区間 $[0, 1]$ において連続であるから、定積分に書き換えて計算する。

$$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \left( \frac{k}{n} \right)^{\frac{m-1}{m}} &= \int_0^1 x^{\frac{m-1}{m}} dx \\ &= \left[ \frac{1}{\frac{m-1}{m} + 1} x^{\frac{m-1}{m} + 1} \right]_0^1 \\ &= \left[ \frac{1}{\frac{2m-1}{m}} x^{\frac{2m-1}{m}} \right]_0^1 \\ &= \left[ \frac{m}{2m-1} x^{\frac{2m-1}{m}} \right]_0^1 \\ &= \frac{m}{2m-1} \end{aligned}$$

したがって、求める極限値は $\frac{m}{2m-1}$ である。

解説

$\lim_{n \to \infty}$ と $\sum$ が組み合わさった式を見たら、まずは区分求積法の適用を考えるのが数学IIIの定石である。区分求積法を用いるためには、式の中から $\frac{1}{n}$ をくくり出し、残りの部分で $\frac{k}{n}$ の関数を作る必要がある。

本問では、分母の $n^{\frac{2m-1}{m}}$ を $n^1$ と $n^{\frac{m-1}{m}}$ の積にうまく分解できるかが唯一のポイントとなる。指数が文字式になっていても、焦らずに指数の足し算・引き算を分解することで、自然と $\frac{1}{n}$ と $\left(\frac{k}{n}\right)^p$ の形が現れる。