数学3 定積分・面積 問題 221 解説

方針・初手

被積分関数が「多項式 $x$」と「対数関数 $\log(1+x)$」の積の形になっているため、部分積分法を用いる。 対数関数は積分が難しいため微分する側に選び、多項式 $x$ を積分する側に選ぶのが定石である。

解法1

部分積分法を用いて計算する。

$$\begin{aligned} \int x \log(1+x) dx &= \int \left( \frac{x^2}{2} \right)' \log(1+x) dx \\ &= \frac{x^2}{2} \log(1+x) - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{1+x} dx \\ &= \frac{x^2}{2} \log(1+x) - \frac{1}{2} \int \frac{x^2}{x+1} dx \end{aligned}$$

ここで、第2項の積分 $\int \frac{x^2}{x+1} dx$ について考える。被積分関数は分子の次数が分母の次数より高いため、分子の次数を下げる変形を行う。

$$\frac{x^2}{x+1} = \frac{x^2 - 1 + 1}{x+1} = \frac{(x-1)(x+1) + 1}{x+1} = x - 1 + \frac{1}{x+1}$$

したがって、積分は以下のように計算できる。ここで、真数条件より $1+x > 0$ すなわち $x+1 > 0$ であるため、$\log|x+1| = \log(x+1)$ となる。

$$\begin{aligned} \int \frac{x^2}{x+1} dx &= \int \left( x - 1 + \frac{1}{x+1} \right) dx \\ &= \frac{x^2}{2} - x + \log(x+1) \end{aligned}$$

これを元の式に代入する。

$$\begin{aligned} \int x \log(1+x) dx &= \frac{x^2}{2} \log(1+x) - \frac{1}{2} \left( \frac{x^2}{2} - x + \log(1+x) \right) \\ &= \frac{x^2}{2} \log(1+x) - \frac{x^2}{4} + \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \log(1+x) \\ &= \frac{1}{2} (x^2 - 1) \log(1+x) - \frac{x^2}{4} + \frac{x}{2} \end{aligned}$$

（※問題の指示により積分定数は省略している）

解法2

部分積分を行う際、$x$ の積分を $\frac{x^2}{2}$ とするのではなく、後の計算を見越して定数を補って $\frac{x^2 - 1}{2}$ とすると計算が非常に簡略化される。

$$\begin{aligned} \int x \log(1+x) dx &= \int \left( \frac{x^2 - 1}{2} \right)' \log(1+x) dx \\ &= \frac{x^2 - 1}{2} \log(1+x) - \int \frac{x^2 - 1}{2} \cdot \frac{1}{1+x} dx \\ &= \frac{1}{2} (x^2 - 1) \log(1+x) - \frac{1}{2} \int \frac{(x-1)(x+1)}{x+1} dx \\ &= \frac{1}{2} (x^2 - 1) \log(1+x) - \frac{1}{2} \int (x-1) dx \\ &= \frac{1}{2} (x^2 - 1) \log(1+x) - \frac{1}{2} \left( \frac{x^2}{2} - x \right) \\ &= \frac{1}{2} (x^2 - 1) \log(1+x) - \frac{x^2}{4} + \frac{x}{2} \end{aligned}$$

解説

多項式と対数関数の積の積分において、部分積分法を用いる典型的な問題である。

解法1が標準的な解き方であるが、分数関数の積分において「分子の次数を下げる」という基本操作が必要になる。 一方で、解法2のように部分積分の際に選ぶ原始関数に都合の良い定数をあらかじめ加えておくテクニックは、対数関数の積分を含む部分積分において非常によく用いられる。この工夫により、多項式の割り算を回避し、計算ミスを減らしつつ素早く解答に辿り着くことができる。

答え

$$\frac{1}{2}(x^2-1)\log(1+x)-\frac{x^2}{4}+\frac{x}{2}$$