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数学3 定積分・面積問題 223 解説

方針・初手

交点の $x$ 座標を求める方程式を立てて、$p$ の条件を導く。その後、定積分によって面積を計算し、面積2等分の条件から方程式を立てて $p$ を求める。積分計算においては、三角関数のグラフの上下関係を区間ごとに正確に把握することが重要である。

解法1

(1)

$C_1$ と $C_2$ の交点の $x$ 座標は、方程式 $\sin 2x = p \sin x$ の解である。

$0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ において、原点以外の交点の $x$ 座標が $\alpha$ であるから、$0 < \alpha \leqq \frac{\pi}{2}$ である。

$$\sin 2\alpha = p \sin \alpha$$

$$2 \sin \alpha \cos \alpha = p \sin \alpha$$

$0 < \alpha \leqq \frac{\pi}{2}$ より $\sin \alpha \neq 0$ であるから、両辺を $\sin \alpha$ で割って

$$2 \cos \alpha = p$$

$$\cos \alpha = \frac{p}{2}$$

また、$0 < \alpha \leqq \frac{\pi}{2}$ より $0 \leqq \cos \alpha < 1$ であるから、

$$0 \leqq \frac{p}{2} < 1$$

$$0 \leqq p < 2$$

$p$ は正の定数であるから、求める $p$ の範囲は $0 < p < 2$ である。

(2)

区間 $0 \leqq x \leqq \alpha$ において、$C_1$ と $C_2$ の上下関係を調べる。

$$\sin 2x - p \sin x = \sin x (2 \cos x - p)$$

$0 < x < \alpha$ のとき、$\sin x > 0$ であり、また $\cos x > \cos \alpha = \frac{p}{2}$ より $2 \cos x - p > 0$ である。したがって $\sin 2x - p \sin x > 0$ となり、$C_1$ は $C_2$ の上側にある。

求める面積 $S$ は

$$S = \int_{0}^{\alpha} (\sin 2x - p \sin x) dx$$

$$= \left[ -\frac{1}{2} \cos 2x + p \cos x \right]_{0}^{\alpha}$$

$$= \left( -\frac{1}{2} \cos 2\alpha + p \cos \alpha \right) - \left( -\frac{1}{2} + p \right)$$

ここで、$\cos \alpha = \frac{p}{2}$ を用いて $\cos 2\alpha$ を $p$ で表すと

$$\cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1 = 2 \left( \frac{p}{2} \right)^2 - 1 = \frac{p^2}{2} - 1$$

これらを面積の式に代入して

$$S = -\frac{1}{2} \left( \frac{p^2}{2} - 1 \right) + p \cdot \frac{p}{2} + \frac{1}{2} - p$$

$$= -\frac{p^2}{4} + \frac{1}{2} + \frac{p^2}{2} + \frac{1}{2} - p$$

$$= \frac{p^2}{4} - p + 1$$

$$= \frac{1}{4} (p - 2)^2$$

(3)

$C_1$ と $x$ 軸で囲まれた領域の面積を $T$ とすると

$$T = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x dx$$

$$= \left[ -\frac{1}{2} \cos 2x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$$

$$= -\frac{1}{2} (-1 - 1) = 1$$

区間 $0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ において、$C_2$ の $y$ 座標は $y = p \sin x \geqq 0$ である。また、区間 $\alpha \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ においては、$\cos x \leqq \cos \alpha = \frac{p}{2}$ より $2 \cos x - p \leqq 0$ となり、$\sin 2x \leqq p \sin x$ である。つまり、$C_2$ は $C_1$ の上側（または同じ高さ）にある。

よって、$C_2$ が $C_1$ と $x$ 軸で囲まれた領域を分割するとき、その分割された上側の部分の面積は、区間 $0 \leqq x \leqq \alpha$ における $C_1$ と $C_2$ の間の面積、すなわち (2) で求めた $S$ に他ならない。

面積を2等分する条件は $S = \frac{T}{2}$ であるから

$$\frac{1}{4} (p - 2)^2 = \frac{1}{2}$$

$$(p - 2)^2 = 2$$

$$p - 2 = \pm \sqrt{2}$$

$$p = 2 \pm \sqrt{2}$$

(1) より $0 < p < 2$ であるから、適するのはマイナスの符号の場合のみである。

$$p = 2 - \sqrt{2}$$

解説

三角関数の倍角公式と基本的な面積計算を組み合わせた標準的な問題である。 (3) で面積を2等分する条件を立式する際、交点 $\alpha$ を境にして $C_1$ と $C_2$ の上下関係が入れ替わることに気づくのがポイントである。「2等分された上側の図形」が、ちょうど (2) で面積を求めた図形と一致することを見抜ければ、計算量を大幅に減らすことができる。