数学3 定積分・面積 問題 224 解説

方針・初手

問題文の指示通りに置換積分を行う。$\tan \frac{x}{2} = t$ とおく置換は、三角関数の積分における標準的な手法の1つである。$\sin x, \cos x, dx$ をそれぞれ $t$ の式で表し、被積分関数を $t$ の有理関数に帰着させて積分を実行する。

解法1

$t = \tan \frac{x}{2}$ とおく。

$x$ が $0$ から $\frac{\pi}{2}$ まで変化するとき、$t$ は $\tan 0 = 0$ から $\tan \frac{\pi}{4} = 1$ まで変化する。

$$\begin{array}{c|ccc} x & 0 & \to & \frac{\pi}{2} \\ \hline t & 0 & \to & 1 \end{array}$$

両辺を $x$ で微分すると、

$$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}} = \frac{1}{2} \left( 1 + \tan^2 \frac{x}{2} \right) = \frac{1+t^2}{2}$$

となるため、

$$dx = \frac{2}{1+t^2} dt$$

である。次に、$\sin x$ と $\cos x$ を $t$ で表す。2倍角の公式より、

$$\begin{aligned} \sin x &= 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} \\ &= 2 \tan \frac{x}{2} \cos^2 \frac{x}{2} \\ &= \frac{2 \tan \frac{x}{2}}{1 + \tan^2 \frac{x}{2}} \\ &= \frac{2t}{1+t^2} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \cos x &= \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2} \\ &= \cos^2 \frac{x}{2} \left( 1 - \tan^2 \frac{x}{2} \right) \\ &= \frac{1 - \tan^2 \frac{x}{2}}{1 + \tan^2 \frac{x}{2}} \\ &= \frac{1-t^2}{1+t^2} \end{aligned}$$

となる。これらを被積分関数の分母に代入して計算すると、

$$\begin{aligned} 1 + \sin x + \cos x &= 1 + \frac{2t}{1+t^2} + \frac{1-t^2}{1+t^2} \\ &= \frac{(1+t^2) + 2t + (1-t^2)}{1+t^2} \\ &= \frac{2t + 2}{1+t^2} \\ &= \frac{2(t+1)}{1+t^2} \end{aligned}$$

となる。したがって、与えられた定積分は次のように $t$ の積分に書き換えられる。

$$\begin{aligned} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+\sin x + \cos x} dx &= \int_{0}^{1} \frac{1+t^2}{2(t+1)} \cdot \frac{2}{1+t^2} dt \\ &= \int_{0}^{1} \frac{1}{t+1} dt \\ &= \left[ \log |t+1| \right]_{0}^{1} \\ &= \log 2 - \log 1 \\ &= \log 2 \end{aligned}$$

解説

$\tan \frac{x}{2} = t$ とおく置換（ワイエルシュトラス置換）は、$\sin x$ と $\cos x$ の有理関数で表された積分を、$t$ の有理関数の積分に帰着させる強力な手法である。

この置換により、以下の関係式が導かれる。

$$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}, \quad \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}, \quad dx = \frac{2}{1+t^2} dt$$

これらは積分計算において頻出であるため、すぐに導出できるようにしておくか、結果を覚えておくとよい。本問では代入後の計算が劇的に簡単になり、$\frac{1}{t+1}$ という基本的な形の積分に帰着する。

答え

$$\log 2$$