数学3 定積分・面積 問題 225 解説

方針・初手

積分区間 $(n-1)\pi \leqq x \leqq n\pi$ において、被積分関数の絶対値記号をどのように外すかが最初のポイントになります。

区間の幅が $\pi$ であることに着目し、$x = t + (n-1)\pi$ と置換して積分区間を $0 \leqq t \leqq \pi$ に平行移動させると、$\sin x$ の符号変化が分かりやすくなり、計算の見通しが良くなります。

解法1

$x = t + (n-1)\pi$ とおく。

$x$ が $(n-1)\pi$ から $n\pi$ まで変化するとき、$t$ は $0$ から $\pi$ まで変化する。また、$dx = dt$ である。

このとき、$\sin x$ は加法定理を用いて次のように変形できる。

$$\sin x = \sin(t + (n-1)\pi) = \sin t \cos((n-1)\pi) + \cos t \sin((n-1)\pi)$$

$\cos((n-1)\pi) = (-1)^{n-1}$、$\sin((n-1)\pi) = 0$ であるから、

$$\sin x = (-1)^{n-1}\sin t$$

積分区間 $0 \leqq t \leqq \pi$ において $\sin t \geqq 0$ であるため、絶対値は次のように外れる。

$$|\sin x| = \left|(-1)^{n-1}\sin t\right| = \sin t$$

したがって、求める定積分 $I$ は次のように書き換えられる。

$$\begin{aligned} I &= \int_{(n-1)\pi}^{n\pi} e^{-x}|\sin x| dx \\ &= \int_{0}^{\pi} e^{-\{t+(n-1)\pi\}} \sin t dt \\ &= e^{-(n-1)\pi} \int_{0}^{\pi} e^{-t} \sin t dt \end{aligned}$$

ここで、定積分 $J = \int_{0}^{\pi} e^{-t} \sin t dt$ を部分積分法を用いて計算する。

$$\begin{aligned} J &= \left[ -e^{-t}\sin t \right]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} (-e^{-t})\cos t dt \\ &= 0 + \int_{0}^{\pi} e^{-t}\cos t dt \\ &= \left[ -e^{-t}\cos t \right]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} (-e^{-t})(-\sin t) dt \\ &= \left( -e^{-\pi}(-1) - (-1 \cdot 1) \right) - \int_{0}^{\pi} e^{-t}\sin t dt \\ &= e^{-\pi} + 1 - J \end{aligned}$$

これより $2J = 1 + e^{-\pi}$ となるため、

$$J = \frac{1 + e^{-\pi}}{2}$$

以上より、求める定積分 $I$ は、

$$\begin{aligned} I &= e^{-(n-1)\pi} \cdot \frac{1 + e^{-\pi}}{2} \\ &= \frac{e^{-(n-1)\pi} + e^{-n\pi}}{2} \end{aligned}$$

解法2

積分区間 $(n-1)\pi \leqq x \leqq n\pi$ における $\sin x$ の符号を直接考える。

$x - (n-1)\pi = \theta$ とおくと $0 \leqq \theta \leqq \pi$ であり、$\sin\theta \geqq 0$ である。

$\sin x = \sin(\theta + (n-1)\pi) = (-1)^{n-1}\sin\theta$ となることから、積分区間において $\sin x$ の符号は一定であり、$(-1)^{n-1}$ の符号と一致する。

したがって、絶対値は次のように外れる。

$$|\sin x| = (-1)^{n-1}\sin x$$

よって、求める定積分 $I$ は、

$$I = (-1)^{n-1} \int_{(n-1)\pi}^{n\pi} e^{-x} \sin x dx$$

ここで、不定積分 $\int e^{-x} \sin x dx$ を求める。部分積分法を2回用いると、

$$\begin{aligned} \int e^{-x} \sin x dx &= -e^{-x}\sin x - \int (-e^{-x})\cos x dx \\ &= -e^{-x}\sin x + \int e^{-x}\cos x dx \\ &= -e^{-x}\sin x + \left( -e^{-x}\cos x - \int (-e^{-x})(-\sin x) dx \right) \\ &= -e^{-x}(\sin x + \cos x) - \int e^{-x}\sin x dx \end{aligned}$$

これを整理して、

$$2\int e^{-x} \sin x dx = -e^{-x}(\sin x + \cos x)$$

$$\int e^{-x} \sin x dx = -\frac{1}{2}e^{-x}(\sin x + \cos x) + C \quad (C \text{ は積分定数})$$

この不定積分を用いて定積分 $I$ を計算する。

$$\begin{aligned} I &= (-1)^{n-1} \left[ -\frac{1}{2}e^{-x}(\sin x + \cos x) \right]_{(n-1)\pi}^{n\pi} \\ &= -\frac{1}{2}(-1)^{n-1} \left\{ e^{-n\pi}(\sin n\pi + \cos n\pi) - e^{-(n-1)\pi}(\sin(n-1)\pi + \cos(n-1)\pi) \right\} \end{aligned}$$

任意の整数 $k$ に対して $\sin k\pi = 0$、$\cos k\pi = (-1)^k$ であるから、

$$\begin{aligned} I &= -\frac{1}{2}(-1)^{n-1} \left\{ e^{-n\pi}(-1)^n - e^{-(n-1)\pi}(-1)^{n-1} \right\} \\ &= -\frac{1}{2} \left\{ e^{-n\pi}(-1)^{2n-1} - e^{-(n-1)\pi}(-1)^{2n-2} \right\} \end{aligned}$$

$(-1)^{2n-1} = -1$、$(-1)^{2n-2} = 1$ より、

$$\begin{aligned} I &= -\frac{1}{2} \left( -e^{-n\pi} - e^{-(n-1)\pi} \right) \\ &= \frac{e^{-(n-1)\pi} + e^{-n\pi}}{2} \end{aligned}$$

解説

指数関数と三角関数の積の積分に関する標準的な問題です。ポイントは大きく分けて2点あります。

1. 絶対値の処理 積分区間 $(n-1)\pi \leqq x \leqq n\pi$ の幅がちょうど $\pi$ であるため、区間内で $\sin x$ の符号は変化しません。解法1のように $x = t + (n-1)\pi$ と置換することで、$0 \leqq t \leqq \pi$ という分かりやすい区間に帰着させることができ、符号のミスを減らすことができます。
2. $e^{ax}\sin bx$ 型の積分 部分積分を2回繰り返して元の積分と同じ形を作り出し、方程式として解く手法が定石です。あるいは、微分の逆算として $(e^{ax}\sin bx)'$ と $(e^{ax}\cos bx)'$ の式を連立させて係数を決定する方法も有効です。

答え

$$\frac{e^{-(n-1)\pi} + e^{-n\pi}}{2}$$