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数学3 定積分・面積問題 226 解説

方針・初手

三角関数の積分問題である。(1) は部分積分を用いて直接計算する。(2) は積和の公式を利用して積分しやすい形に変形する。(3) は (2) の一般化であり、$m$ と $n$ が等しいか異なるかによる場合分けが必要となる。(4) は与式を展開し、(3) で得られた三角関数の直交性を利用して不要な項を消去することで値を求める。

解法1

(1)

部分積分法を用いる。

$$\begin{aligned} \int_{-\pi}^{\pi} x \sin x \, dx &= \int_{-\pi}^{\pi} x (-\cos x)' \, dx \\ &= \left[ -x \cos x \right]_{-\pi}^{\pi} - \int_{-\pi}^{\pi} 1 \cdot (-\cos x) \, dx \\ &= (-\pi \cos \pi) - (\pi \cos (-\pi)) + \int_{-\pi}^{\pi} \cos x \, dx \\ &= \pi - (-\pi) + \left[ \sin x \right]_{-\pi}^{\pi} \\ &= 2\pi + 0 \\ &= 2\pi \end{aligned}$$

(2)

三角関数の積和の公式 $\sin \alpha \sin \beta = -\frac{1}{2} \{ \cos(\alpha+\beta) - \cos(\alpha-\beta) \}$ を用いる。

$$\begin{aligned} \int_{-\pi}^{\pi} \sin 2x \sin 3x \, dx &= \int_{-\pi}^{\pi} -\frac{1}{2} (\cos 5x - \cos x) \, dx \\ &= -\frac{1}{2} \left[ \frac{1}{5} \sin 5x - \sin x \right]_{-\pi}^{\pi} \end{aligned}$$

$\sin (5\pi) = 0$、$\sin \pi = 0$ など、すべての項が $0$ になるため、

$$\int_{-\pi}^{\pi} \sin 2x \sin 3x \, dx = 0$$

(3)

(2) と同様に積和の公式を用いる。

$$\sin mx \sin nx = -\frac{1}{2} \{ \cos(m+n)x - \cos(m-n)x \}$$

$m$ と $n$ の値によって $\cos(m-n)x$ の項の扱いが変わるため、場合分けを行う。

(i) $m \neq n$ のとき

$m-n \neq 0$ であり、$m, n$ は自然数であるから $m+n$ も $m-n$ も $0$ でない整数となる。

$$\begin{aligned} \int_{-\pi}^{\pi} \sin mx \sin nx \, dx &= -\frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} \{ \cos(m+n)x - \cos(m-n)x \} \, dx \\ &= -\frac{1}{2} \left[ \frac{1}{m+n} \sin(m+n)x - \frac{1}{m-n} \sin(m-n)x \right]_{-\pi}^{\pi} \end{aligned}$$

$m+n, m-n$ は整数であるから、$\sin(m+n)\pi = 0$、$\sin(m-n)\pi = 0$ などとなり、上の式は $0$ となる。

(ii) $m = n$ のとき

半角の公式を用いる。

$$\begin{aligned} \int_{-\pi}^{\pi} \sin mx \sin nx \, dx &= \int_{-\pi}^{\pi} \sin^2 mx \, dx \\ &= \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1 - \cos 2mx}{2} \, dx \\ &= \left[ \frac{1}{2} x - \frac{1}{4m} \sin 2mx \right]_{-\pi}^{\pi} \\ &= \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) - \left( -\frac{\pi}{2} - 0 \right) \\ &= \pi \end{aligned}$$

以上より、求める定積分の値は、$m \neq n$ のとき $0$、$m = n$ のとき $\pi$ である。

(4)

被積分関数を展開する。

$$\left( \sum_{k=1}^{2013} \sin kx \right)^2 = \sum_{k=1}^{2013} \sin^2 kx + 2 \sum_{1 \le i < j \le 2013} \sin ix \sin jx$$

積分の線形性により、各項の積分の和に分けることができる。

$$\begin{aligned} &\int_{-\pi}^{\pi} \left( \sum_{k=1}^{2013} \sin kx \right)^2 \, dx \\ &= \sum_{k=1}^{2013} \left( \int_{-\pi}^{\pi} \sin^2 kx \, dx \right) + 2 \sum_{1 \le i < j \le 2013} \left( \int_{-\pi}^{\pi} \sin ix \sin jx \, dx \right) \end{aligned}$$

ここで (3) の結果を用いる。第1項の積分については、(3) の (ii) より $\int_{-\pi}^{\pi} \sin^2 kx \, dx = \pi$ である。第2項の積分については、$i \neq j$ であるから (3) の (i) より $\int_{-\pi}^{\pi} \sin ix \sin jx \, dx = 0$ である。

したがって、求める定積分の値は

$$\sum_{k=1}^{2013} \pi + 2 \sum_{1 \le i < j \le 2013} 0 = 2013\pi$$

解説

三角関数の定積分において非常に重要な「直交性」をテーマにした問題である。

(3) で証明したように、異なる自然数 $m, n$ に対して $\int_{-\pi}^{\pi} \sin mx \sin nx \, dx = 0$ が成り立つ。これは三角関数系が直交系であることを意味しており、フーリエ級数展開などの応用数学においても基礎となる重要な性質である。

(4) のような複雑に見える総和記号の二乗の積分も、直交性によって交差項（$\sin ix \sin jx$ の項）の積分がすべて $0$ になって消えるため、非常にシンプルな形に帰着する。$\sum$ の二乗の展開式 $(a_1 + a_2 + \dots + a_n)^2 = \sum_{k=1}^n a_k^2 + 2\sum_{i<j} a_i a_j$ を正確に記述できるかがポイントとなる。