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数学3 定積分・面積問題 227 解説

方針・初手

(1) は曲線 $C$ の媒介変数表示を直線 $\ell$ の方程式に代入し、$t$ についての方程式を解くことで交点の媒介変数 $t$ を求める。 (2) は積分によって面積を求める。曲線 $C$ と直線 $\ell$ の上下関係を把握し、面積分を立式する。媒介変数 $t$ のまま置換積分を行う方法と、曲線 $C$ を $y = f(x)$ の形に直して積分する方法の2通りが考えられるが、いずれも特定の頻出積分の計算処理が求められる。

解法1

(1)

曲線 $C$ 上の点 $(x, y) = \left( \tan t, \frac{1}{\cos t} \right)$ が直線 $\ell: 2x - \sqrt{3}y = 0$ 上にあるとき、代入して、

$$2\tan t - \sqrt{3}\frac{1}{\cos t} = 0$$

$$\frac{2\sin t - \sqrt{3}}{\cos t} = 0$$

$0 \leqq t < \frac{\pi}{2}$ より $\cos t > 0$ であるから、分子が $0$ になればよい。

$$2\sin t - \sqrt{3} = 0$$

$$\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

$0 \leqq t < \frac{\pi}{2}$ の範囲でこれを解くと、

$$t = \frac{\pi}{3}$$

このとき、$x, y$ 座標は、

$$x = \tan\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$$

$$y = \frac{1}{\cos\frac{\pi}{3}} = 2$$

よって、求める交点の座標は $(\sqrt{3}, 2)$ である。

(2)

直線 $\ell$ は $y = \frac{2}{\sqrt{3}}x$ と表せる。 $x=0$ のとき曲線 $C$ は $y=1$ であり、直線 $\ell$ は $y=0$ であるため、区間 $0 \leqq x \leqq \sqrt{3}$ において曲線 $C$ は直線 $\ell$ の上側にある。したがって、求める面積 $S$ は、曲線 $C$ と $x$ 軸、$y$ 軸、直線 $x=\sqrt{3}$ で囲まれた面積から、直線 $\ell$ と $x$ 軸、$x=\sqrt{3}$ で囲まれた直角三角形の面積を引いたものとなる。

$$S = \int_{0}^{\sqrt{3}} y dx - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot 2 = \int_{0}^{\sqrt{3}} y dx - \sqrt{3}$$

ここで、$x = \tan t$ より $dx = \frac{1}{\cos^2 t} dt$ である。 $x$ が $0$ から $\sqrt{3}$ まで変化するとき、$t$ は $0$ から $\frac{\pi}{3}$ まで変化する。これを置換積分すると、

$$\int_{0}^{\sqrt{3}} y dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\cos t} \cdot \frac{1}{\cos^2 t} dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos t}{\cos^4 t} dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos t}{(1-\sin^2 t)^2} dt$$

さらに、$u = \sin t$ とおくと $du = \cos t dt$。 $t$ が $0$ から $\frac{\pi}{3}$ まで変化するとき、$u$ は $0$ から $\frac{\sqrt{3}}{2}$ まで変化する。

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos t}{(1-\sin^2 t)^2} dt = \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{1}{(1-u^2)^2} du$$

被積分関数を部分分数分解する。

$$\begin{aligned} \frac{1}{(1-u^2)^2} &= \frac{1}{4} \left( \frac{1}{1-u} + \frac{1}{1+u} \right)^2 \\ &= \frac{1}{4} \left( \frac{1}{(1-u)^2} + \frac{2}{(1-u)(1+u)} + \frac{1}{(1+u)^2} \right) \\ &= \frac{1}{4} \left( \frac{1}{(1-u)^2} + \frac{1}{1-u} + \frac{1}{1+u} + \frac{1}{(1+u)^2} \right) \end{aligned}$$

これを積分して、

$$\begin{aligned} \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{1}{(1-u^2)^2} du &= \frac{1}{4} \left[ \frac{1}{1-u} - \log|1-u| + \log|1+u| - \frac{1}{1+u} \right]_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \\ &= \frac{1}{4} \left[ \frac{2u}{1-u^2} + \log \frac{1+u}{1-u} \right]_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \\ &= \frac{1}{4} \left( \frac{\sqrt{3}}{1-\frac{3}{4}} + \log \frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{1-\frac{\sqrt{3}}{2}} \right) \\ &= \frac{1}{4} \left( 4\sqrt{3} + \log \frac{(2+\sqrt{3})^2}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} \right) \\ &= \sqrt{3} + \frac{1}{2} \log (2+\sqrt{3}) \end{aligned}$$

したがって、求める面積 $S$ は、

$$S = \left( \sqrt{3} + \frac{1}{2} \log (2+\sqrt{3}) \right) - \sqrt{3} = \frac{1}{2} \log (2+\sqrt{3})$$

解法2

(2) の別解（$x$ と $y$ の関係式を導いて積分する方法）

曲線 $C$ の媒介変数表示 $x = \tan t, y = \frac{1}{\cos t}$ について、三角関数の相互関係 $1 + \tan^2 t = \frac{1}{\cos^2 t}$ を用いて $t$ を消去する。

$$1 + x^2 = y^2$$

$0 \leqq t < \frac{\pi}{2}$ の範囲では $x \geqq 0, y \geqq 1$ であるから、曲線 $C$ の方程式は $y = \sqrt{x^2+1}$ と表せる。これは双曲線の一部である。求める面積 $S$ は、

$$S = \int_{0}^{\sqrt{3}} \left( \sqrt{x^2+1} - \frac{2}{\sqrt{3}}x \right) dx = \int_{0}^{\sqrt{3}} \sqrt{x^2+1} dx - \sqrt{3}$$

ここで、定積分 $J = \int_{0}^{\sqrt{3}} \sqrt{x^2+1} dx$ を部分積分法により求める。

$$\begin{aligned} J &= \int_{0}^{\sqrt{3}} (x)' \sqrt{x^2+1} dx \\ &= \left[ x \sqrt{x^2+1} \right]_{0}^{\sqrt{3}} - \int_{0}^{\sqrt{3}} x \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} dx \\ &= 2\sqrt{3} - \int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{x^2+1-1}{\sqrt{x^2+1}} dx \\ &= 2\sqrt{3} - \int_{0}^{\sqrt{3}} \sqrt{x^2+1} dx + \int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} dx \\ &= 2\sqrt{3} - J + \left[ \log(x + \sqrt{x^2+1}) \right]_{0}^{\sqrt{3}} \end{aligned}$$

これを $J$ について解くと、

$$\begin{aligned} 2J &= 2\sqrt{3} + \log(\sqrt{3} + \sqrt{3+1}) - \log 1 \\ &= 2\sqrt{3} + \log(2+\sqrt{3}) \end{aligned}$$

$$J = \sqrt{3} + \frac{1}{2} \log(2+\sqrt{3})$$

したがって、求める面積 $S$ は、

$$S = J - \sqrt{3} = \frac{1}{2} \log (2+\sqrt{3})$$

解説

面積を求める問題では、積分計算の処理能力が問われる。本問では、$\int \frac{1}{\cos^3 t} dt$（解法1）または $\int \sqrt{x^2+1} dx$（解法2）という、理系数学で頻出だが計算量の多い積分が現れる。解法1の部分分数分解や、解法2の同形出現を利用した部分積分の手法は、誘導なしでも自力で実行できるように習熟しておく必要がある。どちらの解法を選んでも手数は同程度となる。