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数学3 定積分・面積問題 228 解説

方針・初手

極座標 $(r, \theta)$ と直交座標 $(x, y)$ の間には $x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$ の関係がある。この関係式と与えられた極方程式 $r = \sqrt{\cos 2\theta}$ を用いて、曲線を媒介変数 $\theta$ を用いた表示に変換して考える。 (2) は接線の傾き $\frac{dy}{dx}$ を求めるために媒介変数微分法を用いる。(3) は $x \geqq \frac{\sqrt{6}}{4}$ となる $\theta$ の範囲を求め、そのまま置換積分で面積を計算するか、あるいは極方程式の面積公式 $\int \frac{1}{2}r^2 d\theta$ と図形（三角形）の面積を組み合わせることで求められる。

解法1

(1)

直交座標 $(x, y)$ と極座標 $(r, \theta)$ の関係式より、

$$\begin{aligned} x &= r \cos \theta \\ y &= r \sin \theta \end{aligned}$$

曲線 $C$ 上では $r = \sqrt{\cos 2\theta}$ であるから、これを代入して、

$$\begin{aligned} x &= \sqrt{\cos 2\theta} \cos \theta \\ y &= \sqrt{\cos 2\theta} \sin \theta \end{aligned}$$

(2)

点 $\text{Q}$ における接線の傾きは $\frac{dy}{dx}$ である。媒介変数微分法により、$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}}$ として求める。 $x, y$ を $\theta$ で微分すると、

$$\begin{aligned} \frac{dx}{d\theta} &= \left\{ (\cos 2\theta)^{\frac{1}{2}} \right\}' \cos \theta + (\cos 2\theta)^{\frac{1}{2}} (\cos \theta)' \\ &= \frac{1}{2}(\cos 2\theta)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-2\sin 2\theta) \cdot \cos \theta + \sqrt{\cos 2\theta} \cdot (-\sin \theta) \\ &= \frac{-\sin 2\theta \cos \theta - \cos 2\theta \sin \theta}{\sqrt{\cos 2\theta}} \\ &= \frac{-\sin(2\theta + \theta)}{\sqrt{\cos 2\theta}} \\ &= -\frac{\sin 3\theta}{\sqrt{\cos 2\theta}} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \frac{dy}{d\theta} &= \left\{ (\cos 2\theta)^{\frac{1}{2}} \right\}' \sin \theta + (\cos 2\theta)^{\frac{1}{2}} (\sin \theta)' \\ &= \frac{1}{2}(\cos 2\theta)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-2\sin 2\theta) \cdot \sin \theta + \sqrt{\cos 2\theta} \cdot \cos \theta \\ &= \frac{-\sin 2\theta \sin \theta + \cos 2\theta \cos \theta}{\sqrt{\cos 2\theta}} \\ &= \frac{\cos(2\theta + \theta)}{\sqrt{\cos 2\theta}} \\ &= \frac{\cos 3\theta}{\sqrt{\cos 2\theta}} \end{aligned}$$

したがって、接線の傾きは次のように表される。

$$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}} = \frac{\frac{\cos 3\theta}{\sqrt{\cos 2\theta}}}{-\frac{\sin 3\theta}{\sqrt{\cos 2\theta}}} = -\frac{\cos 3\theta}{\sin 3\theta} = -\frac{1}{\tan 3\theta}$$

接線の傾きが $-1$ であるから、

$$-\frac{1}{\tan 3\theta} = -1 \iff \tan 3\theta = 1$$

$0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$ より $0 \leqq 3\theta \leqq \frac{3}{4}\pi$ であるから、これを満たすのは $3\theta = \frac{\pi}{4}$ のみである。よって、

$$\theta = \frac{\pi}{12}$$

(3)

曲線 $C$ 上の点について、$x = \frac{\sqrt{6}}{4}$ となる $\theta$ の値を求める。

$$x^2 = \cos 2\theta \cos^2 \theta = (2\cos^2 \theta - 1)\cos^2 \theta = 2\cos^4 \theta - \cos^2 \theta$$

$x = \frac{\sqrt{6}}{4}$ のとき $x^2 = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$ であるから、

$$\begin{aligned} 2\cos^4 \theta - \cos^2 \theta &= \frac{3}{8} \\ 16\cos^4 \theta - 8\cos^2 \theta - 3 &= 0 \\ (4\cos^2 \theta - 3)(4\cos^2 \theta + 1) &= 0 \end{aligned}$$

$\cos^2 \theta \geqq 0$ であるから、$\cos^2 \theta = \frac{3}{4}$ となる。 $0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$ の範囲では $\cos \theta > 0$ より $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ であり、これを満たすのは $\theta = \frac{\pi}{6}$ である。また、$\theta = 0$ のとき $x = 1, y = 0$ であり、$\theta$ が $0$ から $\frac{\pi}{6}$ まで単調に増加するとき、$x$ は $1$ から $\frac{\sqrt{6}}{4}$ まで単調に減少する。

したがって、求める面積 $S$ は次のように積分で表される。

$$S = \int_{\frac{\sqrt{6}}{4}}^{1} y \, dx$$

$x$ を $\theta$ に置換して積分する。$dx = -\frac{\sin 3\theta}{\sqrt{\cos 2\theta}} d\theta$ であり、積分区間は $x$ が $\frac{\sqrt{6}}{4} \to 1$ のとき $\theta$ は $\frac{\pi}{6} \to 0$ である。

$$\begin{aligned} S &= \int_{\frac{\pi}{6}}^{0} \left( \sqrt{\cos 2\theta} \sin \theta \right) \left( -\frac{\sin 3\theta}{\sqrt{\cos 2\theta}} \right) \, d\theta \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \sin \theta \sin 3\theta \, d\theta \end{aligned}$$

積和の公式 $\sin \alpha \sin \beta = -\frac{1}{2} \{ \cos(\alpha + \beta) - \cos(\alpha - \beta) \}$ を用いて計算する。

$$\begin{aligned} S &= \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} -\frac{1}{2} ( \cos 4\theta - \cos 2\theta ) \, d\theta \\ &= \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} ( \cos 2\theta - \cos 4\theta ) \, d\theta \\ &= \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2} \sin 2\theta - \frac{1}{4} \sin 4\theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{6}} \\ &= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{3} - \frac{1}{4} \sin \frac{2}{3}\pi \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{8} \right) \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{16} \end{aligned}$$

解法2

(3)の別解（極方程式の面積公式を利用）

原点を $\text{O}$ とし、曲線 $C$ 上の $\theta = 0$ に対応する点を $\text{A}(1, 0)$、$\theta = \frac{\pi}{6}$ に対応する点を $\text{B}$ とする。また、点 $\text{B}$ から $x$ 軸に下ろした垂線の足を $\text{H}$ とする。解法1より、点 $\text{H}$ の $x$ 座標は $\frac{\sqrt{6}}{4}$ である。このとき、点 $\text{B}$ の $y$ 座標は

$$y = \sqrt{\cos \left( 2 \cdot \frac{\pi}{6} \right)} \sin \frac{\pi}{6} = \sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$$

求める面積 $S$ は、線分 $\text{OA}$ と線分 $\text{OB}$ および曲線 $C$ で囲まれた図形（扇形に似た領域）の面積 $S_1$ から、直角三角形 $\text{OBH}$ の面積 $S_2$ を引いたものである。

面積 $S_1$ は極方程式の公式を用いて、

$$\begin{aligned} S_1 &= \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} r^2 \, d\theta \\ &= \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos 2\theta \, d\theta \\ &= \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2} \sin 2\theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{6}} \\ &= \frac{1}{4} \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{8} \end{aligned}$$

面積 $S_2$ は底辺が $\text{OH} = \frac{\sqrt{6}}{4}$、高さが $\text{BH} = \frac{\sqrt{2}}{4}$ の直角三角形であるから、

$$\begin{aligned} S_2 &= \frac{1}{2} \cdot \text{OH} \cdot \text{BH} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} \\ &= \frac{\sqrt{12}}{32} = \frac{2\sqrt{3}}{32} = \frac{\sqrt{3}}{16} \end{aligned}$$

したがって、求める面積 $S$ は、

$$S = S_1 - S_2 = \frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{\sqrt{3}}{16} = \frac{\sqrt{3}}{16}$$

解説

極座標に関する標準的な微分・積分の問題である。(2)における微分の計算では、加法定理（$\sin(\alpha+\beta)$ や $\cos(\alpha+\beta)$ の展開式）の逆をたどることで式を大幅に簡略化できることに気付けると計算ミスを防げる。 (3)の面積は $x$ 軸方向の置換積分に帰着させるのが基本だが、解法2で示したように極方程式特有の面積公式 $\int \frac{1}{2}r^2 d\theta$ を用いて「動径が掃いた面積」から幾何的に不要な部分（今回は直角三角形）を引く考え方も強力である。