トップ› 基礎問題› 数学3› 積分法› 定積分・面積› 問題 235

数学3 定積分・面積問題 235 解説

方針・初手

すべての小問において、極限の式から区分求積法の利用を考える。和の記号 $\sum$ を用いて式を表し、$\frac{1}{n}$ と $\frac{k}{n}$ の塊を作り出して定積分に直すのが基本方針である。(3)については、そのままでは和の形にならないため、積の形から和の形へ変換するために自然対数をとるという定石を用いる。

解法1

(1)

与えられた極限の式を変形し、区分求積法が適用できる形にする。

$$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{1 + \frac{k}{n}}$$

区分求積法により、これは以下の定積分で表される。

$$\int_0^1 \frac{1}{1+x} dx$$

この定積分を計算する。

$$\int_0^1 \frac{1}{1+x} dx = \Big[ \log(1+x) \Big]_0^1 = \log 2 - \log 1 = \log 2$$

(2)

与式のシグマの中身を変形して、$\frac{1}{n}$ と $\frac{k}{n}$ の形を作り出す。

$$\frac{1}{n^4} k^2 \sqrt{n^2 - k^2} = \frac{1}{n} \cdot \frac{k^2}{n^2} \cdot \frac{1}{n} \sqrt{n^2 \left( 1 - \left(\frac{k}{n}\right)^2 \right)} = \frac{1}{n} \left(\frac{k}{n}\right)^2 \sqrt{1 - \left(\frac{k}{n}\right)^2}$$

よって、求める極限は以下のようになる。

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \left(\frac{k}{n}\right)^2 \sqrt{1 - \left(\frac{k}{n}\right)^2}$$

区分求積法を用いると、この極限は次の定積分に等しい。

$$\int_0^1 x^2 \sqrt{1-x^2} dx$$

この積分を計算するため、$x = \sin \theta$ と置換する。

$dx = \cos \theta d\theta$ であり、$x$ が $0$ から $1$ まで変化するとき、$\theta$ は $0$ から $\frac{\pi}{2}$ まで変化する。また、$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ において $\cos \theta \ge 0$ であるため、$\sqrt{1-\sin^2 \theta} = \cos \theta$ となる。

$$\begin{aligned} \int_0^1 x^2 \sqrt{1-x^2} dx &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 \theta \cos \theta \cdot \cos \theta d\theta \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 \theta \cos^2 \theta d\theta \\ &= \frac{1}{4} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (2\sin \theta \cos \theta)^2 d\theta \\ &= \frac{1}{4} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 2\theta d\theta \\ &= \frac{1}{4} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos 4\theta}{2} d\theta \\ &= \frac{1}{8} \left[ \theta - \frac{1}{4} \sin 4\theta \right]_0^{\frac{\pi}{2}} \\ &= \frac{1}{8} \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) = \frac{\pi}{16} \end{aligned}$$

(3)

求める極限値を $I$ とし、数列 $A_n$ を次のように定める。

$$A_n = \left( \frac{(2n)!}{n! n^n} \right)^{\frac{1}{n}}$$

両辺の自然対数をとる。

$$\begin{aligned} \log A_n &= \frac{1}{n} \log \left( \frac{(2n)!}{n! n^n} \right) \\ &= \frac{1}{n} \log \left( \frac{(n+1)(n+2)\cdots(2n)}{n \cdot n \cdots n} \right) \\ &= \frac{1}{n} \log \left( \prod_{k=1}^n \frac{n+k}{n} \right) \\ &= \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \log \left( 1 + \frac{k}{n} \right) \end{aligned}$$

ここで $n \to \infty$ とすると、区分求積法により次の定積分となる。

$$\lim_{n \to \infty} \log A_n = \int_0^1 \log(1+x) dx$$

部分積分を用いてこの定積分を計算する。

$$\begin{aligned} \int_0^1 \log(1+x) dx &= \int_0^1 (1+x)' \log(1+x) dx \\ &= \Big[ (1+x) \log(1+x) \Big]_0^1 - \int_0^1 (1+x) \cdot \frac{1}{1+x} dx \\ &= 2\log 2 - \int_0^1 1 dx \\ &= 2\log 2 - \Big[ x \Big]_0^1 \\ &= 2\log 2 - 1 \end{aligned}$$

よって、$\log I = 2\log 2 - 1$ となる。

$2\log 2 - 1 = \log 4 - \log e = \log \frac{4}{e}$ であるから、対数の定義より以下を得る。

$$I = e^{\log \frac{4}{e}} = \frac{4}{e}$$

解説

すべて区分求積法を利用して極限値を求める典型的な問題である。(1) は最も基本的な形であり、(2) は次数に注意して式変形を行い、正しく $\frac{1}{n}$ と $\frac{k}{n}$ の形を作れるかがポイントとなる。(3) は「積や階乗の極限は、対数をとって和の形にする」という定石を用いる。その後現れる置換積分や部分積分などの計算を正確に行い、(3)では最後に対数を外して元の極限値に戻すのを忘れないようにすることが重要である。