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数学3 定積分・面積問題 243 解説

方針・初手

(1) は基本的な三角方程式である。三角関数の合成を用いて解を求める。

(2) 2つの曲線 $y=f(x)$ と $y=g(x)$ が $x=t$ の点で共有点をもち、そこで共通の接線をもつための条件は、$f(t)=g(t)$ かつ $f'(t)=g'(t)$ が成り立つことである。この条件を曲線 $C$ と $D$、曲線 $C$ と $E$ のそれぞれに適用し、連立方程式を解いていく。その際、(1) で得られた結果と大小関係 $a>b$ を活用する。

(3) (2) で求めた値をもとに、各曲線のグラフの上下関係を把握する。面積を求める区間を分割し、適切な定積分を立式して計算する。

解法1

(1) 与えられた方程式は、三角関数の合成を用いると次のように変形できる。

$$\sin x + \cos x = 0$$

$$\sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 0$$

$$\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 0$$

$0 \leqq x \leqq 2\pi$ であるから、$\frac{\pi}{4} \leqq x + \frac{\pi}{4} \leqq \frac{9\pi}{4}$ となる。この範囲で方程式を満たす値は、

$$x + \frac{\pi}{4} = \pi, 2\pi$$

よって、

$$x = \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$$

(2) 曲線 $C$ と $D$ が $x = p$ で共有点をもち、そこで共通の接線をもつための条件は、

$$\begin{cases} e^{-p} = a\sin p \\ -e^{-p} = a\cos p \end{cases}$$

上の2式より、

$$a\sin p = -a\cos p$$

$$a(\sin p + \cos p) = 0$$

ここで $a = 0$ とすると $e^{-p} = 0$ となり矛盾するため、$a \neq 0$ である。したがって $\sin p + \cos p = 0$ が成り立ち、(1) の結果より $p = \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$ を得る。 $e^{-p} > 0$ であるから、$a\sin p > 0$ を満たす必要がある。 $p = \frac{3\pi}{4}$ のとき、$\sin p = \frac{1}{\sqrt{2}} > 0$ より $a > 0$ となる。 $p = \frac{7\pi}{4}$ のとき、$\sin p = -\frac{1}{\sqrt{2}} < 0$ より $a < 0$ となる。

同様に、曲線 $C$ と $E$ が $x = q$ で共有点をもち、そこで共通の接線をもつための条件から、

$$b(\sin q + \cos q) = 0$$

が得られ、$q = \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$ となる。

問題の条件より $a > b$ であるから、$a$ は正の値、$b$ は負の値をとらなければならない。したがって、

$$p = \frac{3\pi}{4}, \quad q = \frac{7\pi}{4}$$

と定まる。これらを条件式に代入して $a$ と $b$ を求める。

$$a = \frac{e^{-\frac{3\pi}{4}}}{\sin \frac{3\pi}{4}} = \sqrt{2}e^{-\frac{3\pi}{4}}$$

$$b = \frac{e^{-\frac{7\pi}{4}}}{\sin \frac{7\pi}{4}} = -\sqrt{2}e^{-\frac{7\pi}{4}}$$

(3) 3曲線 $C_1, D_1, E_1$ と $x$ 軸によって囲まれた図形について考える。区間 $0 \leqq x \leqq p$ において、曲線 $D_1$ は $y = a\sin x$ ($a > 0$) であり、$y \geqq 0$ である。区間 $p \leqq x \leqq q$ において、曲線 $C_1$ は $y = e^{-x}$ であり、$y > 0$ である。区間 $\pi \leqq x \leqq q$ において、曲線 $E_1$ は $y = b\sin x$ ($b < 0$) であり、この区間で $\sin x \leqq 0$ であるため $y \geqq 0$ である。これらと $x$ 軸とで囲まれた領域の面積 $S$ は、上下関係を考慮すると次のように表される。

$$S = \int_{0}^{p} a\sin x \, dx + \int_{p}^{q} e^{-x} \, dx - \int_{\pi}^{q} b\sin x \, dx$$

それぞれの定積分を計算する。

$$\begin{aligned} \int_{0}^{p} a\sin x \, dx &= a \bigl[ -\cos x \bigr]_{0}^{\frac{3\pi}{4}} \\ &= a \left( -\cos\frac{3\pi}{4} + \cos 0 \right) \\ &= a \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + 1 \right) \\ &= \sqrt{2}e^{-\frac{3\pi}{4}} \cdot \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}} \\ &= (\sqrt{2}+1)e^{-\frac{3\pi}{4}} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \int_{p}^{q} e^{-x} \, dx &= \bigl[ -e^{-x} \bigr]_{\frac{3\pi}{4}}^{\frac{7\pi}{4}} \\ &= e^{-\frac{3\pi}{4}} - e^{-\frac{7\pi}{4}} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \int_{\pi}^{q} b\sin x \, dx &= b \bigl[ -\cos x \bigr]_{\pi}^{\frac{7\pi}{4}} \\ &= b \left( -\cos\frac{7\pi}{4} + \cos \pi \right) \\ &= b \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} - 1 \right) \\ &= -\sqrt{2}e^{-\frac{7\pi}{4}} \cdot \frac{-\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}} \\ &= (\sqrt{2}+1)e^{-\frac{7\pi}{4}} \end{aligned}$$

これらを $S$ の式に代入する。

$$\begin{aligned} S &= (\sqrt{2}+1)e^{-\frac{3\pi}{4}} + \left( e^{-\frac{3\pi}{4}} - e^{-\frac{7\pi}{4}} \right) - (\sqrt{2}+1)e^{-\frac{7\pi}{4}} \\ &= (\sqrt{2}+2)e^{-\frac{3\pi}{4}} - (\sqrt{2}+2)e^{-\frac{7\pi}{4}} \\ &= (\sqrt{2}+2)\left( e^{-\frac{3\pi}{4}} - e^{-\frac{7\pi}{4}} \right) \end{aligned}$$

解説

「2つの曲線が接する」という条件を数式に翻訳する典型的な問題である。(1) で求めた解が (2) の接点の $x$ 座標の候補となる構成になっており、符号の吟味によって $a, b, p, q$ の対応を1つに絞り込むことができる。 (3) の面積計算では、各関数の符号を正しく把握し、$x$ 軸との位置関係を間違えずに積分区間を設定することが重要である。面積の立式さえ正しくできれば、定積分の計算自体は基礎的な微分の逆算で実行できる。