トップ› 基礎問題› 数学3› 積分法› 定積分・面積› 問題 244

数学3 定積分・面積問題 244 解説

方針・初手

絶対値を含む関数の定積分は、被積分関数の絶対値記号の中身の正負によって積分区間を分割して計算することが基本である。本問では、積分変数は $x$ であり、$t$ は定数として扱う。曲線 $C$ と $x$ 軸の交点が積分区間を分割する境界となるため、まずはその交点の $x$ 座標を求めることから始める。

解法1

(1)

$t = \frac{\pi}{6}$ のとき、曲線 $C$ の方程式は $y = \left| \cos x - \sin \frac{\pi}{6} \right| = \left| \cos x - \frac{1}{2} \right|$ となる。

曲線 $C$ と $x$ 軸の共有点の $x$ 座標は、$y = 0$ とすることで求められる。

$$\cos x - \frac{1}{2} = 0$$

$$\cos x = \frac{1}{2}$$

$0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ であるから、これを満たす $x$ は以下のようになる。

$$x = \frac{\pi}{3}$$

(2)

$f\left(\frac{\pi}{6}\right)$ は、曲線 $y = \left| \cos x - \frac{1}{2} \right|$ と $x$ 軸、$y$ 軸、直線 $x = \frac{\pi}{2}$ で囲まれた図形の面積である。

区間 $0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{3}$ においては $\cos x \geqq \frac{1}{2}$ より $\cos x - \frac{1}{2} \geqq 0$ であり、区間 $\frac{\pi}{3} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ においては $\cos x \leqq \frac{1}{2}$ より $\cos x - \frac{1}{2} \leqq 0$ である。

したがって、面積 $f\left(\frac{\pi}{6}\right)$ は次のように計算できる。

$$f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left| \cos x - \frac{1}{2} \right| dx$$

$$= \int_0^{\frac{\pi}{3}} \left( \cos x - \frac{1}{2} \right) dx + \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1}{2} - \cos x \right) dx$$

$$= \left[ \sin x - \frac{1}{2}x \right]_0^{\frac{\pi}{3}} + \left[ \frac{1}{2}x - \sin x \right]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}$$

$$= \left( \sin \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} \right) - 0 + \left( \frac{\pi}{4} - \sin \frac{\pi}{2} \right) - \left( \frac{\pi}{6} - \sin \frac{\pi}{3} \right)$$

$$= \left( \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6} \right) + \frac{\pi}{4} - 1 - \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$= \sqrt{3} - 1 - \frac{\pi}{12}$$

(3)

曲線 $C$ と $x$ 軸の共有点の $x$ 座標は、$y = 0$ すなわち $\cos x - \sin t = 0$ を満たす $x$ である。

$$\cos x = \sin t$$

ここで、$0 < t < \frac{\pi}{2}$ において $\sin t = \cos \left( \frac{\pi}{2} - t \right)$ と変形できるため、次が成り立つ。

$$\cos x = \cos \left( \frac{\pi}{2} - t \right)$$

$0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ であり、かつ $0 < t < \frac{\pi}{2}$ より $0 < \frac{\pi}{2} - t < \frac{\pi}{2}$ であるから、両者の角度は一致する。

$$x = \frac{\pi}{2} - t$$

(4)

(3) の結果から、絶対値記号の中身 $\cos x - \sin t$ の符号が変わる境界は $x = \frac{\pi}{2} - t$ である。

$0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} - t$ のとき、$\cos x \geqq \cos \left( \frac{\pi}{2} - t \right) = \sin t$ より $\cos x - \sin t \geqq 0$ となる。 $\frac{\pi}{2} - t \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ のとき、$\cos x \leqq \cos \left( \frac{\pi}{2} - t \right) = \sin t$ より $\cos x - \sin t \leqq 0$ となる。

したがって、$f(t)$ は次のように区間を分けて計算する。

$$f(t) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} |\cos x - \sin t| dx$$

$$= \int_0^{\frac{\pi}{2}-t} (\cos x - \sin t) dx + \int_{\frac{\pi}{2}-t}^{\frac{\pi}{2}} (\sin t - \cos x) dx$$

$$= \left[ \sin x - x \sin t \right]_0^{\frac{\pi}{2}-t} + \left[ x \sin t - \sin x \right]_{\frac{\pi}{2}-t}^{\frac{\pi}{2}}$$

それぞれ代入して計算を進める。

$$= \left\{ \sin \left( \frac{\pi}{2} - t \right) - \left( \frac{\pi}{2} - t \right) \sin t \right\} - 0 + \left( \frac{\pi}{2} \sin t - \sin \frac{\pi}{2} \right) - \left\{ \left( \frac{\pi}{2} - t \right) \sin t - \sin \left( \frac{\pi}{2} - t \right) \right\}$$

$\sin \left( \frac{\pi}{2} - t \right) = \cos t$ であることを用いて整理する。

$$= \left\{ \cos t - \frac{\pi}{2} \sin t + t \sin t \right\} + \frac{\pi}{2} \sin t - 1 - \frac{\pi}{2} \sin t + t \sin t + \cos t$$

$$= 2 \cos t + 2t \sin t - \frac{\pi}{2} \sin t - 1$$

$$= 2 \cos t + \left( 2t - \frac{\pi}{2} \right) \sin t - 1$$

(5)

(4) で求めた $f(t)$ を $t$ で微分して増減を調べる。

$$f'(t) = -2 \sin t + 2 \sin t + \left( 2t - \frac{\pi}{2} \right) \cos t$$

$$= \left( 2t - \frac{\pi}{2} \right) \cos t$$

$0 < t < \frac{\pi}{2}$ において $\cos t > 0$ であるから、$f'(t)$ の符号は $2t - \frac{\pi}{2}$ の符号と一致する。 $f'(t) = 0$ となるのは、$2t - \frac{\pi}{2} = 0$ すなわち $t = \frac{\pi}{4}$ のときである。

これより、$0 < t < \frac{\pi}{2}$ における $f(t)$ の増減表は次のようになる。

$t$	$(0)$	$\cdots$	$\frac{\pi}{4}$	$\cdots$	$\left(\frac{\pi}{2}\right)$
$f'(t)$		$-$	$0$	$+$
$f(t)$		$\searrow$	極小	$\nearrow$

増減表より、$f(t)$ は $t = \frac{\pi}{4}$ のとき最小となる。最小値 $f\left(\frac{\pi}{4}\right)$ を計算する。

$$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2 \cos \frac{\pi}{4} + \left( 2 \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} \right) \sin \frac{\pi}{4} - 1$$

$$= 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 0 - 1$$

$$= \sqrt{2} - 1$$

解説

絶対値を含む定積分と、その結果として得られた関数の最小値を求める標準的な微分積分の問題である。(1)(2)は具体的な数値での計算であり、(3)以降の文字定数を含んだ計算の導入となっている。

本問の肝は(3)における $\cos x = \sin t$ の処理である。三角関数の性質 $\sin \theta = \cos \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right)$ を用いて両辺をコサイン（またはサイン）に揃えることで、積分区間の境界を $t$ を用いて表すことができる。この変形に気づけるかが完答への大きな鍵となる。また、(4)における積分計算では項が多くなるため、符号のミスに注意深く計算を進める必要がある。(5)の微分は積の微分公式を用いるが、計算すると綺麗に整理され、増減表が容易に書けるようになっている。