トップ› 基礎問題› 数学3› 積分法› 定積分・面積› 問題 246

数学3 定積分・面積問題 246 解説

方針・初手

(1) 階乗と累乗の比の極限を求める問題である。分子と分母の積の個数が一致することに着目し、各項を比較して不等式を作り、はさみうちの原理を用いる。

(2) 与えられた一般項から $\frac{a_n}{a_{n+1}}$ を直接計算し、自然対数の底 $e$ の定義式 $\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$ に帰着させる。

(3) 累乗の形が含まれる極限なので、対数をとって考えるのが定石である。階乗の対数は和の形（シグマ）で表せるため、極限をとる際に区分求積法が利用できる形へ変形する。

解法1

(1) $n$ は自然数であるから、$a_n = \frac{n!}{n^n} > 0$ である。 $n \ge 2$ のとき、一般項 $a_n$ は次のように展開できる。

$$a_n = \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 2 \cdot 1}{n \cdot n \cdot n \cdots n \cdot n}$$

$$a_n = 1 \cdot \left(1 - \frac{1}{n}\right) \left(1 - \frac{2}{n}\right) \cdots \frac{2}{n} \cdot \frac{1}{n}$$

ここで、$1 \le k \le n-1$ を満たす自然数 $k$ について、$0 < 1 - \frac{k}{n} < 1$ が成り立つから、

$$a_n \le 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdots 1 \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n}$$

この不等式は $n=1$ のときも $a_1 = 1 \le 1$ となり成立する。したがって、すべての自然数 $n$ について次の不等式が成り立つ。

$$0 < a_n \le \frac{1}{n}$$

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$ であるから、はさみうちの原理より、

$$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$$

(2) 与えられた一般項の式を用いて、$\frac{a_n}{a_{n+1}}$ を計算する。

$$\frac{a_n}{a_{n+1}} = a_n \div a_{n+1} = \frac{n!}{n^n} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}$$

$$\frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n!}{(n+1)!} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n}$$

$$\frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{n+1} \cdot \frac{(n+1) \cdot (n+1)^n}{n^n}$$

$$\frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(n+1)^n}{n^n} = \left( \frac{n+1}{n} \right)^n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$$

よって、自然対数の底 $e$ の定義より、極限は次のようになる。

$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = e$$

(3) 求める極限の対数をとったものを $L_n$ とおき、その極限 $\lim_{n \to \infty} L_n$ を考える。

$$L_n = \log \left( \frac{a_{kn}}{a_n} \right)^{\frac{1}{n}} = \frac{1}{n} \log \frac{a_{kn}}{a_n}$$

$\frac{a_{kn}}{a_n}$ を計算し、対数をとる。

$$\frac{a_{kn}}{a_n} = \frac{(kn)!}{(kn)^{kn}} \cdot \frac{n^n}{n!} = \frac{(kn)!}{n!} \cdot \frac{n^n}{(kn)^{kn}}$$

$$\log \frac{a_{kn}}{a_n} = \log \frac{(kn)!}{n!} + \log \frac{n^n}{(kn)^{kn}}$$

それぞれの項を変形する。

$$\log \frac{(kn)!}{n!} = \log \left( (n+1)(n+2)\cdots(kn) \right) = \sum_{j=n+1}^{kn} \log j$$

$$\log \frac{n^n}{(kn)^{kn}} = \log n^n - \log (kn)^{kn} = n \log n - kn \log(kn) = n \log n - kn(\log k + \log n) = -kn \log k - (k-1)n \log n$$

これらを $L_n$ の式に代入する。

$$L_n = \frac{1}{n} \left( \sum_{j=n+1}^{kn} \log j - kn \log k - (k-1)n \log n \right)$$

$$L_n = \frac{1}{n} \sum_{j=n+1}^{kn} \log j - k \log k - (k-1)\log n$$

シグマの部分について、対数の性質を用いて項をまとめる。シグマの項数は $kn - n = (k-1)n$ 個である。

$$\frac{1}{n} \sum_{j=n+1}^{kn} \log j = \frac{1}{n} \sum_{j=n+1}^{kn} \left( \log n + \log \frac{j}{n} \right) = \frac{1}{n} \sum_{j=n+1}^{kn} \log n + \frac{1}{n} \sum_{j=n+1}^{kn} \log \frac{j}{n}$$

$$= \frac{1}{n} \cdot (k-1)n \log n + \frac{1}{n} \sum_{j=n+1}^{kn} \log \frac{j}{n} = (k-1)\log n + \frac{1}{n} \sum_{j=n+1}^{kn} \log \frac{j}{n}$$

これを $L_n$ の式に戻すと、$(k-1)\log n$ が打ち消し合う。

$$L_n = \left( (k-1)\log n + \frac{1}{n} \sum_{j=n+1}^{kn} \log \frac{j}{n} \right) - k \log k - (k-1)\log n$$

$$L_n = \frac{1}{n} \sum_{j=n+1}^{kn} \log \frac{j}{n} - k \log k$$

ここで、$n \to \infty$ としたときの第1項の極限は、区分求積法により定積分で表すことができる。

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{j=n+1}^{kn} \log \frac{j}{n} = \int_{1}^{k} \log x \, dx$$

この定積分を計算する。

$$\int_{1}^{k} \log x \, dx = \left[ x \log x - x \right]_{1}^{k} = (k \log k - k) - (1 \log 1 - 1) = k \log k - k + 1$$

したがって、$L_n$ の極限は次のようになる。

$$\lim_{n \to \infty} L_n = (k \log k - k + 1) - k \log k = 1 - k$$

以上より、$\lim_{n \to \infty} \log \left( \frac{a_{kn}}{a_n} \right)^{\frac{1}{n}} = 1 - k$ であるから、

$$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{a_{kn}}{a_n} \right)^{\frac{1}{n}} = e^{1-k}$$

解説

極限計算の頻出テーマが詰まった総合問題である。 (1) は、階乗を含む数列の極限の基本であり、部分的に評価してはさみうちの原理に持ち込む手技は頻出である。 (2) は、$n$ と $n+1$ の比をとることで、自然対数の底 $e$ の定義の形が自然と現れる。 (3) は、累乗の極限において「対数をとる」という基本方針と、「和の極限は区分求積法を疑う」という定石を組み合わせる。シグマの式変形において、$\log n$ の項をくくり出すことで区分求積法の形 $\frac{1}{n} f(\frac{k}{n})$ を作り出す操作が鍵となる。積分区間が $[0, 1]$ ではなく $[1, k]$ になる点に注意して立式する必要がある。