数学3 定積分・面積 問題 249 解説

方針・初手

和 $\sum_{n=1}^{40000} \frac{1}{\sqrt{n}}$ は直接計算することができないため、積分を用いて和を不等式で評価する。関数 $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$ が単調減少であることを利用して、長方形の面積と積分で表される面積を比較することで、求める和を下と上から評価する。

解法1

関数 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ は $x > 0$ において単調減少である。

自然数 $n$ に対して、区間 $n \leqq x \leqq n+1$ を考えると、

$$\frac{1}{\sqrt{n+1}} \leqq \frac{1}{\sqrt{x}} \leqq \frac{1}{\sqrt{n}}$$

が成り立つ（等号は $x=n, n+1$ のとき以外成り立たない）。この不等式を $n$ から $n+1$ まで積分すると、

$$\int_{n}^{n+1} \frac{1}{\sqrt{n+1}} \,dx < \int_{n}^{n+1} \frac{1}{\sqrt{x}} \,dx < \int_{n}^{n+1} \frac{1}{\sqrt{n}} \,dx$$

すなわち、

$$\frac{1}{\sqrt{n+1}} < \int_{n}^{n+1} x^{-\frac{1}{2}} \,dx < \frac{1}{\sqrt{n}}$$

となる。定積分を計算すると、$\int_{n}^{n+1} x^{-\frac{1}{2}} \,dx = \left[ 2\sqrt{x} \right]_{n}^{n+1} = 2(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$ であるから、

$$\frac{1}{\sqrt{n+1}} < 2(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) < \frac{1}{\sqrt{n}}$$

を得る。この右側の不等式より、

$$\frac{1}{\sqrt{n}} > 2(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$$

である。この式で $n=1, 2, \cdots, 40000$ として辺々を加えると、

$$\sum_{n=1}^{40000} \frac{1}{\sqrt{n}} > \sum_{n=1}^{40000} 2(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$$

右辺は次のように計算できる。

$$\begin{aligned} \sum_{n=1}^{40000} 2(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) &= 2 \{ (\sqrt{2} - \sqrt{1}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + \cdots + (\sqrt{40001} - \sqrt{40000}) \} \\ &= 2(\sqrt{40001} - 1) \end{aligned}$$

ここで、$2(\sqrt{40001} - 1) > 2(\sqrt{40000} - 1) = 2(200 - 1) = 398$ であるから、

$$\sum_{n=1}^{40000} \frac{1}{\sqrt{n}} > 398$$

が成り立つ。

次に、先ほど求めた不等式の左側、すなわち

$$\frac{1}{\sqrt{n+1}} < 2(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$$

において、$n$ を $n-1$ に置き換えると、$n \geqq 2$ のとき、

$$\frac{1}{\sqrt{n}} < 2(\sqrt{n} - \sqrt{n-1})$$

となる。この式で $n=2, 3, \cdots, 40000$ として辺々を加えると、

$$\sum_{n=2}^{40000} \frac{1}{\sqrt{n}} < \sum_{n=2}^{40000} 2(\sqrt{n} - \sqrt{n-1})$$

右辺を計算すると、

$$\begin{aligned} \sum_{n=2}^{40000} 2(\sqrt{n} - \sqrt{n-1}) &= 2 \{ (\sqrt{2} - \sqrt{1}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + \cdots + (\sqrt{40000} - \sqrt{39999}) \} \\ &= 2(\sqrt{40000} - 1) \\ &= 2(200 - 1) \\ &= 398 \end{aligned}$$

したがって、

$$\sum_{n=2}^{40000} \frac{1}{\sqrt{n}} < 398$$

となる。両辺に $n=1$ の項である $\frac{1}{\sqrt{1}} = 1$ を加えると、

$$\sum_{n=1}^{40000} \frac{1}{\sqrt{n}} < 399$$

が成り立つ。

以上より、求める和を $S$ とおくと、

$$398 < S < 399$$

となるため、$S$ の整数部分は $398$ である。

解説

関数の単調性を利用して、数列の和を定積分で評価する非常に典型的な問題である。和 $S = \sum_{k=1}^{n} f(k)$ について、$f(x)$ が単調減少関数のとき、

$$\int_{1}^{n+1} f(x) \,dx < \sum_{k=1}^{n} f(k) < f(1) + \int_{1}^{n} f(x) \,dx$$

という不等式が成り立つことを図形的意味とともに理解しておくことが重要である。本問では $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ を用いてこの評価を行い、$398 < S < 399$ という幅 $1$ の区間に和を絞り込むことで整数部分を決定している。

答え

398