数学3 定積分・面積 問題 251 解説

方針・初手

(1) は媒介変数表示された関数の微分法を用いる。$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$ および $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}$ に従って計算する。 (2) は (1) の結果を用いて $\frac{d^2y}{dx^2}$ の符号を調べ、増減と凹凸の表を作成して曲線の概形を捉える。 (3) は $x$ の値の範囲に応じた $y$ の値を調べ、媒介変数を用いた定積分によって面積を求める。

解法1

(1)

$x = \sin t$, $y = (1 + \cos t)\sin t$ を $t$ で微分する。

$$\frac{dx}{dt} = \cos t$$

$$\frac{dy}{dt} = -\sin t \cdot \sin t + (1 + \cos t)\cos t = -\sin^2 t + \cos t + \cos^2 t = 2\cos^2 t + \cos t - 1$$

$\cos t \neq 0$ すなわち $t \neq \frac{\pi}{2}$ のとき、

$$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{2\cos^2 t + \cos t - 1}{\cos t}$$

これを $2\cos t + 1 - \frac{1}{\cos t}$ と変形し、さらに $x$ で微分する。

$$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}$$

分子を計算すると、

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) = -2\sin t - \left( -\frac{-\sin t}{\cos^2 t} \right) = -2\sin t - \frac{\sin t}{\cos^2 t} = -\frac{\sin t (2\cos^2 t + 1)}{\cos^2 t}$$

よって、

$$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-\frac{\sin t (2\cos^2 t + 1)}{\cos^2 t}}{\cos t} = -\frac{\sin t (2\cos^2 t + 1)}{\cos^3 t}$$

(2)

$0 < t < \pi$ ($t \neq \frac{\pi}{2}$) において、$\sin t > 0$ かつ $2\cos^2 t + 1 > 0$ である。 したがって、$\frac{d^2y}{dx^2}$ の符号は $-\cos^3 t$ の符号、すなわち $-\cos t$ の符号と一致する。

$0 < t < \frac{\pi}{2}$ のとき、$\cos t > 0$ より $\frac{d^2y}{dx^2} < 0$ （曲線は上に凸） $\frac{\pi}{2} < t < \pi$ のとき、$\cos t < 0$ より $\frac{d^2y}{dx^2} > 0$ （曲線は下に凸）

また、$\frac{dx}{dt} = 0$ となるのは $t = \frac{\pi}{2}$ のときである。 $\frac{dy}{dt} = 0$ となるのは $(2\cos t - 1)(\cos t + 1) = 0$ より $\cos t = \frac{1}{2}, -1$ であり、$t = \frac{\pi}{3}, \pi$ のときである。

以上より、増減表は以下のようになる。

曲線 $C$ は原点 $(0,0)$ から出発し、第1象限において $x$ 軸の正の方向へ進みながら $t = \frac{\pi}{3}$ で極大値をとる。その後 $(1,1)$ で折り返し、下に凸な曲線を描いて再び原点に戻る。

(3)

$0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$ に対応する曲線を $y_1$、$\frac{\pi}{2} \leqq t \leqq \pi$ に対応する曲線を $y_2$ とする。 増減表より、区間 $0 \leqq x \leqq 1$ において $y_1 \geqq y_2$ である。 したがって、$C$ で囲まれる領域の面積 $S$ は、

$$S = \int_{0}^{1} (y_1 - y_2) dx = \int_{0}^{1} y_1 dx - \int_{0}^{1} y_2 dx$$

ここで、$x = \sin t$ と置換すると、$dx = \cos t dt$ である。 $y_1$ は $t$ が $0$ から $\frac{\pi}{2}$ まで変化し、$y_2$ は $t$ が $\pi$ から $\frac{\pi}{2}$ まで変化する部分に対応するため、

$$S = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} y(t) \cos t dt - \int_{\pi}^{\frac{\pi}{2}} y(t) \cos t dt = \int_{0}^{\pi} y(t) \cos t dt$$

となる。これを計算すると、

$$S = \int_{0}^{\pi} (1 + \cos t)\sin t \cos t dt = \int_{0}^{\pi} (\sin t \cos t + \sin t \cos^2 t) dt$$

$$S = \left[ \frac{1}{2}\sin^2 t - \frac{1}{3}\cos^3 t \right]_{0}^{\pi}$$

$$S = \left( 0 - \frac{1}{3}(-1) \right) - \left( 0 - \frac{1}{3}(1) \right) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$

解説

媒介変数表示された曲線の微積分における標準的な問題である。 (1) では、第2次導関数を求める計算を正確に行うことが求められる。合成関数の微分を丁寧に適用する。 (2) では、$x$ と $y$ の増減だけでなく、$\frac{d^2y}{dx^2}$ の符号から曲線の凹凸まで調べる必要がある。 (3) の面積計算では、$x$ 軸方向に積分する際に、上側の曲線と下側の曲線を意識して立式し、媒介変数積分に持ち込むと計算がスムーズに進む。積分範囲の向きに注意して1つの積分にまとめるのは、この手の問題での典型的な処理である。

答え

(1)

$\frac{dy}{dx} = \frac{2\cos^2 t + \cos t - 1}{\cos t}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{\sin t (2\cos^2 t + 1)}{\cos^3 t}$

(2)

$0 \leqq t < \frac{\pi}{2}$ の範囲で上に凸、$\frac{\pi}{2} < t \leqq \pi$ の範囲で下に凸。

概形は、原点を出発して第1象限にふくらみ、$(1,1)$ で折り返して原点に戻る閉曲線である。（詳細は解説中の増減表を参照）

(3)

$S = \frac{2}{3}$