数学3 定積分・面積 問題 258 解説

方針・初手

無理関数を含む積分であるため、$\sqrt{x} = t$ とおく置換積分を行う。置換によって被積分関数が $(多項式)\times(指数関数)$ の形になるので、続いて部分積分法を用いて計算を進める。

解法1

$\sqrt{x} = t$ とおく。

両辺を2乗すると

$$x = t^2$$

両辺を $t$ で微分すると

$$\frac{dx}{dt} = 2t$$

すなわち

$$dx = 2t \, dt$$

よって、与えられた不定積分は次のように置換できる。

$$\int e^{\sqrt{x}} \, dx = \int e^t \cdot 2t \, dt$$

$$= 2 \int t e^t \, dt$$

ここで部分積分法を用いると、

$$\int t e^t \, dt = \int t (e^t)' \, dt$$

$$= t e^t - \int 1 \cdot e^t \, dt$$

$$= t e^t - e^t + C_1$$

（$C_1$ は積分定数）

これを与式に代入すると、

$$2 \int t e^t \, dt = 2 (t e^t - e^t + C_1)$$

$$= 2(t - 1)e^t + C$$

（$C = 2C_1$ とし、これを新たに積分定数とする）

最後に $t = \sqrt{x}$ を代入して $x$ の式に戻す。

$$2(\sqrt{x} - 1)e^{\sqrt{x}} + C$$

（$C$ は積分定数）

解説

指数関数の肩に無理関数が乗っている形の不定積分である。このままでは基本的な積分公式を適用できないため、扱いにくい部分である $\sqrt{x}$ を丸ごと $t$ とおく置換積分が有効である。

置換後の積分は $\int t e^t \, dt$ という典型的な形に帰着する。$(多項式) \times (指数関数)$ の積分は、多項式側を微分して次数を下げるように部分積分法を適用するのが定石である。積分定数を書き忘れないように注意したい。

答え

$2(\sqrt{x}-1)e^{\sqrt{x}}+C$ （$C$ は積分定数）