数学3 定積分・面積 問題 260 解説

方針・初手

線分 $\mathrm{AB}$ は半円の直径であるため、円周角の定理から $\angle \mathrm{AP}_k\mathrm{B} = 90^\circ$ であることに着目する。直角三角形 $\mathrm{AP}_k\mathrm{B}$ において三角比を用いて $\mathrm{AP}_k$ と $\mathrm{P}_k\mathrm{B}$ の長さを求める。(2) は区間の分割幅が $\frac{1}{n}$ であることから、区分求積法を用いて定積分に帰着させる。

解法1

(1)

線分 $\mathrm{AB}$ は長さ $2$ の直径である。半円周を $n$ 等分しているので、弧 $\mathrm{AP}_k$ に対する中心角は $180^\circ \times \frac{k}{n} = \frac{k\pi}{n}$ である。

したがって、円周角の定理より

$$\angle \mathrm{ABP}_k = \frac{1}{2} \times \frac{k\pi}{n} = \frac{k\pi}{2n}$$

となる。

$k=1, 2, \dots, n-1$ のとき、線分 $\mathrm{AB}$ は直径であるから、$\angle \mathrm{AP}_k\mathrm{B} = \frac{\pi}{2}$ の直角三角形となる。

よって、

$$\mathrm{AP}_k = \mathrm{AB} \sin \angle \mathrm{ABP}_k = 2 \sin \frac{k\pi}{2n}$$

$$\mathrm{P}_k\mathrm{B} = \mathrm{AB} \cos \angle \mathrm{ABP}_k = 2 \cos \frac{k\pi}{2n}$$

である。

また、$\mathrm{BA} = 2$ であるから、

$$\ell_n(k) = \mathrm{AP}_k + \mathrm{P}_k\mathrm{B} + \mathrm{BA} = 2 \sin \frac{k\pi}{2n} + 2 \cos \frac{k\pi}{2n} + 2$$

となる。

これは $k=n$ のとき、$2 \sin \frac{\pi}{2} + 2 \cos \frac{\pi}{2} + 2 = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 0 + 2 = 4$ となり、条件 $\ell_n(n) = 4$ を満たす。

よって、

$$\ell_n(k) = 2 \sin \frac{k\pi}{2n} + 2 \cos \frac{k\pi}{2n} + 2$$

である。

(2)

(1) の結果より、極限値 $\alpha$ は次のように変形できる。

$$\alpha = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ell_n(k)$$

$$\alpha = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \left( 2 \sin \frac{k\pi}{2n} + 2 \cos \frac{k\pi}{2n} + 2 \right)$$

これは区分求積法の形 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 f(x) \, dx$ になっているため、定積分を用いて計算できる。

$$\alpha = \int_0^1 \left( 2 \sin \frac{\pi x}{2} + 2 \cos \frac{\pi x}{2} + 2 \right) \, dx$$

$$\alpha = \left[ -\frac{4}{\pi} \cos \frac{\pi x}{2} + \frac{4}{\pi} \sin \frac{\pi x}{2} + 2x \right]_0^1$$

$$\alpha = \left( 0 + \frac{4}{\pi} + 2 \right) - \left( -\frac{4}{\pi} + 0 + 0 \right)$$

$$\alpha = \frac{8}{\pi} + 2$$

解説

(1) は直角三角形の三角比を用いる基本的な問題である。中心角と円周角の関係を正しく把握できれば容易に立式できる。(2) は極限と和の形から区分求積法を用いる典型問題である。積分区間と被積分関数の対応を間違えないように注意したい。

答え

(1) $\ell_n(k) = 2 \sin \frac{k\pi}{2n} + 2 \cos \frac{k\pi}{2n} + 2$

(2) $\alpha = \frac{8}{\pi} + 2$