数学3 定積分・面積 問題 262 解説

方針・初手

(1) は三角方程式を解いて条件を満たす解を見つける。(2) は積の微分法を用いて導関数を計算し、元の関数との関係式を導く。連立方程式のように解くことで、$f(x)$ を $f'(x), g'(x)$ で表すことができる。(3) は (2) の結果を利用して、面積の定積分を簡単に計算する。定積分の計算では、積分される関数を導関数の線形結合で表すことがポイントである。

解法1

(1)

$f(x) = g(x)$ より、

$$e^{-x} \sin 3x = e^{-x} \cos 3x$$

$e^{-x} > 0$ であるから、両辺を $e^{-x}$ で割ると、

$$\sin 3x = \cos 3x$$

ここで、$\cos 3x = 0$ と仮定すると $\sin 3x = \pm 1$ となり上式を満たさないため、$\cos 3x \neq 0$ である。両辺を $\cos 3x$ で割ると、

$$\tan 3x = 1$$

これを解くと、$n$ を整数として、

$$3x = \frac{\pi}{4} + n\pi$$

$$x = \frac{\pi}{12} + \frac{n\pi}{3}$$

となる。

このうち、負で最大となるのは $n = -1$ のときであり、

$$a = \frac{\pi}{12} - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{4}$$

正で最小となるのは $n = 0$ のときであり、

$$b = \frac{\pi}{12}$$

である。

(2)

$f(x) = e^{-x} \sin 3x$, $g(x) = e^{-x} \cos 3x$ をそれぞれ微分する。積の微分法より、

$$f'(x) = -e^{-x} \sin 3x + 3e^{-x} \cos 3x = -f(x) + 3g(x)$$

$$g'(x) = -e^{-x} \cos 3x - 3e^{-x} \sin 3x = -3f(x) - g(x)$$

となる。

これらを $f(x), g(x)$ についての連立方程式とみて、$g(x)$ を消去する。 $f'(x) = -f(x) + 3g(x)$ の両辺に、$g'(x) = -3f(x) - g(x)$ の両辺を3倍したものを足すと、

$$f'(x) + 3g'(x) = \{ -f(x) + 3g(x) \} + \{ -9f(x) - 3g(x) \}$$

$$f'(x) + 3g'(x) = -10f(x)$$

よって、$f(x)$ について解くと、

$$f(x) = -\frac{1}{10}f'(x) - \frac{3}{10}g'(x)$$

となる。

(3)

区間 $a \leqq x \leqq b$、すなわち $-\frac{\pi}{4} \leqq x \leqq \frac{\pi}{12}$ における $f(x)$ と $g(x)$ の大小関係を調べる。

$$g(x) - f(x) = e^{-x} (\cos 3x - \sin 3x) = \sqrt{2}e^{-x} \cos \left( 3x + \frac{\pi}{4} \right)$$

$-\frac{\pi}{4} \leqq x \leqq \frac{\pi}{12}$ より、$-\frac{3\pi}{4} \leqq 3x \leqq \frac{\pi}{4}$ であるから、

$$-\frac{\pi}{2} \leqq 3x + \frac{\pi}{4} \leqq \frac{\pi}{2}$$

この範囲において $\cos \left( 3x + \frac{\pi}{4} \right) \geqq 0$ であるため、$g(x) - f(x) \geqq 0$、すなわち $g(x) \geqq f(x)$ となる。 したがって、求める面積 $S$ は、

$$S = \int_{a}^{b} \{ g(x) - f(x) \} dx$$

で与えられる。ここで、被積分関数 $g(x) - f(x)$ を導関数を用いて表す。 (2) と同様に連立方程式から $f(x)$ を消去して $g(x)$ を求める。 $f'(x) = -f(x) + 3g(x)$ の両辺を3倍したものから、$g'(x) = -3f(x) - g(x)$ を引くと、

$$3f'(x) - g'(x) = \{ -3f(x) + 9g(x) \} - \{ -3f(x) - g(x) \}$$

$$3f'(x) - g'(x) = 10g(x)$$

$$g(x) = \frac{3}{10}f'(x) - \frac{1}{10}g'(x)$$

これと (2) の結果を用いると、

$$\begin{aligned} g(x) - f(x) &= \left\{ \frac{3}{10}f'(x) - \frac{1}{10}g'(x) \right\} - \left\{ -\frac{1}{10}f'(x) - \frac{3}{10}g'(x) \right\} \\ &= \frac{2}{5}f'(x) + \frac{1}{5}g'(x) \end{aligned}$$

となる。これを定積分に代入すると、

$$S = \int_{a}^{b} \left\{ \frac{2}{5}f'(x) + \frac{1}{5}g'(x) \right\} dx$$

$$S = \left[ \frac{2}{5}f(x) + \frac{1}{5}g(x) \right]_{a}^{b}$$

$$S = \left\{ \frac{2}{5}f(b) + \frac{1}{5}g(b) \right\} - \left\{ \frac{2}{5}f(a) + \frac{1}{5}g(a) \right\}$$

$x=a, b$ は $f(x) = g(x)$ の解であるから、$f(a) = g(a)$ および $f(b) = g(b)$ が成り立つ。これを用いると、

$$S = \frac{3}{5}f(b) - \frac{3}{5}f(a) = \frac{3}{5} \{ f(b) - f(a) \}$$

となる。ここで、$f(a)$ と $f(b)$ の値を計算する。

$$f(a) = f\left(-\frac{\pi}{4}\right) = e^{\frac{\pi}{4}} \sin\left(-\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{1}{\sqrt{2}}e^{\frac{\pi}{4}}$$

$$f(b) = f\left(\frac{\pi}{12}\right) = e^{-\frac{\pi}{12}} \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-\frac{\pi}{12}}$$

これらを代入して面積 $S$ を求める。

$$\begin{aligned} S &= \frac{3}{5} \left\{ \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-\frac{\pi}{12}} - \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}e^{\frac{\pi}{4}} \right) \right\} \\ &= \frac{3}{5\sqrt{2}} \left( e^{-\frac{\pi}{12}} + e^{\frac{\pi}{4}} \right) \\ &= \frac{3\sqrt{2}}{10} e^{\frac{\pi}{4}} \left( e^{-\frac{\pi}{3}} + 1 \right) \\ &= \frac{3\sqrt{2}}{10} e^{\frac{\pi}{4}} \left( 1 + e^{-\frac{\pi}{3}} \right) \end{aligned}$$

解説

指数関数と三角関数の積の積分は、部分積分を2回繰り返して同形出現を利用するか、あらかじめ導関数を計算して微分方程式の形から原始関数を逆算する手法が定石である。本問は後者の誘導となっており、(2)の等式を導くことで、(3)の被積分関数を微分の形で表すことができるため、積分計算を劇的に簡略化できる。$f(a)=g(a), f(b)=g(b)$ を利用して代入計算の量を減らす工夫も計算ミスを防ぐ上で重要である。

答え

アイ：$-\pi$

ウ：$4$

エ：$\pi$

オカ：$12$

キ：$-1$

ク：$3$

ケコ：$-3$

サシ：$-1$

スセ：$10$

ソ：$3$

タチ：$10$

ツ：$3$

テ：$2$

トナ：$10$

ニ：$4$

ヌ：$1$

ネ：$3$