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数学3 定積分・面積問題 263 解説

方針・初手

(1) 与えられた関数 $f(x)$ を微分し、$x=1$ における微分係数（接線の傾き）を求める。これと接点 $(1, -3)$ の座標を用いて接線の方程式を立てる。

(2) 第1次導関数 $f'(x)$ と第2次導関数 $f''(x)$ を計算し、$f'(x)=0$ および $f''(x)=0$ となる $x$ の値を求める。定義域 $x > 0$ における増減と凹凸の表を作成し、極値と変曲点を特定する。

(3) 多項式と対数関数の積の積分であるため、部分積分法を繰り返し用いる。$x$ を $\left(\frac{x^2}{2}\right)'$ とみて部分積分を実行する。

解法1

(1)

関数 $f(x) = x\{(\log x)^2 - 3\}$ を微分する。積の微分公式より、

$$f'(x) = 1 \cdot \{(\log x)^2 - 3\} + x \cdot \left\{ 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} \right\}$$

$$f'(x) = (\log x)^2 + 2\log x - 3$$

$x=1$ における微分係数は、$\log 1 = 0$ より、

$$f'(1) = 0^2 + 2 \cdot 0 - 3 = -3$$

求める接線は点 $(1, -3)$ を通り、傾きが $-3$ の直線であるから、その方程式は、

$$y - (-3) = -3(x - 1)$$

$$y = -3x$$

(2)

(1)より、

$$f'(x) = (\log x)^2 + 2\log x - 3 = (\log x + 3)(\log x - 1)$$

$f'(x) = 0$ とすると、$\log x = -3, 1$ であり、

$$x = e^{-3}, e$$

さらに $f'(x)$ を微分して第2次導関数を求める。

$$f''(x) = 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} + 2 \cdot \frac{1}{x} = \frac{2(\log x + 1)}{x}$$

$f''(x) = 0$ とすると、$\log x = -1$ であり、

$$x = e^{-1}$$

$x > 0$ における $f(x)$ の増減および凹凸の表は次のようになる。

$x$	$\cdots$	$e^{-3}$	$\cdots$	$e^{-1}$	$\cdots$	$e$	$\cdots$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$f''(x)$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$f(x)$	$\nearrow$ 上凸	極大	$\searrow$ 上凸	変曲点	$\searrow$ 下凸	極小	$\nearrow$ 下凸

それぞれの値を計算する。

極大値は $x = e^{-3}$ のとき、

$$f(e^{-3}) = e^{-3}\{(-3)^2 - 3\} = 6e^{-3} = \frac{6}{e^3}$$

極小値は $x = e$ のとき、

$$f(e) = e(1^2 - 3) = -2e$$

変曲点の $y$ 座標は $x = e^{-1}$ のとき、

$$f(e^{-1}) = e^{-1}\{(-1)^2 - 3\} = -2e^{-1} = -\frac{2}{e}$$

したがって、極大値は $6e^{-3}$ （$x = e^{-3}$）、極小値は $-2e$ （$x = e$）であり、変曲点の座標は $(e^{-1}, -2e^{-1})$ である。

(3)

求める定積分を $I$ とする。

$$I = \int_{1}^{e} x\{(\log x)^2 - 3\} dx = \int_{1}^{e} x(\log x)^2 dx - 3\int_{1}^{e} x dx$$

ここで、右辺の第1項に部分積分法を用いる。

$$\int_{1}^{e} x(\log x)^2 dx = \int_{1}^{e} \left( \frac{x^2}{2} \right)' (\log x)^2 dx$$

$$= \left[ \frac{x^2}{2} (\log x)^2 \right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^2}{2} \cdot 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} dx$$

$$= \frac{e^2}{2} - \int_{1}^{e} x\log x dx$$

さらに残った積分に対しても部分積分法を用いる。

$$\int_{1}^{e} x\log x dx = \int_{1}^{e} \left( \frac{x^2}{2} \right)' \log x dx$$

$$= \left[ \frac{x^2}{2} \log x \right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx$$

$$= \frac{e^2}{2} - \int_{1}^{e} \frac{x}{2} dx$$

$$= \frac{e^2}{2} - \left[ \frac{x^2}{4} \right]_{1}^{e} = \frac{e^2}{2} - \left( \frac{e^2}{4} - \frac{1}{4} \right) = \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4}$$

これを先ほどの式に代入する。

$$\int_{1}^{e} x(\log x)^2 dx = \frac{e^2}{2} - \left( \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4} \right) = \frac{e^2}{4} - \frac{1}{4}$$

また、元の式 $I$ の第2項は、

$$-3\int_{1}^{e} x dx = -3 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{e} = -\frac{3}{2}(e^2 - 1)$$

これらをまとめて $I$ を計算する。

$$I = \left( \frac{e^2}{4} - \frac{1}{4} \right) - \frac{3}{2}(e^2 - 1)$$

$$= \left( \frac{1}{4} - \frac{6}{4} \right)e^2 + \left( -\frac{1}{4} + \frac{6}{4} \right)$$

$$= -\frac{5}{4}e^2 + \frac{5}{4} = \frac{5(1 - e^2)}{4}$$

解説

微分法および積分法の基本的な計算力を問う問題である。 (1)の接線の方程式、(2)の増減と凹凸を調べる手順は標準的であり、微分計算と符号の判定を正確に行えばよい。対数を含む関数の微積分では、常に真数条件（本問では $x>0$）を意識することが重要である。 (3)は多項式と対数関数の積の定積分であり、部分積分法を繰り返し用いる典型問題である。$\log x$ は微分すると多項式（有理関数）になるため、$x$ の方を積分側に回すのがセオリーである。計算量がやや多いため、符号のミスなどに注意して丁寧に処理したい。