数学3 定積分・面積 問題 274 解説

方針・初手

媒介変数 $t$ で表された曲線の概形を捉えるため、$x$ と $y$ の増減を調べる。 増減表を作成し、曲線が $x$ 軸の正の向きに対してどのように進み、どこで折り返すかを確認したうえで、求める面積を定積分として立式する。積分計算においては、半角の公式や倍角の公式を用いて被積分関数を整理し、微分の逆算をうまく活用して計算を簡略化する。

解法1

与えられた式を $t$ で微分する。

$$\begin{aligned} \frac{dx}{dt} &= e^t \cos t - e^t \sin t = e^t(\cos t - \sin t) \\ \frac{dy}{dt} &= e^t \sin t + e^t \cos t = e^t(\sin t + \cos t) \end{aligned}$$

$0 \leqq t \leqq \pi$ の範囲において、導関数が $0$ となる $t$ の値を求める。

$\frac{dx}{dt} = 0$ となるのは、$\cos t = \sin t$ より $t = \frac{\pi}{4}$ のときである。

$\frac{dy}{dt} = 0$ となるのは、$\sin t = -\cos t$ より $t = \frac{3\pi}{4}$ のときである。

これより、$t$ に対する $x, y$ の増減表は次のようになる。

$0 \leqq t \leqq \pi$ において $y \geqq 0$ であるため、曲線 $C$ は $x$ 軸の上側（または $x$ 軸上）にある。 また、表より $x$ は $t=0$ から $t=\frac{\pi}{4}$ まで増加し、$t=\frac{\pi}{4}$ から $t=\pi$ まで減少する。 ここで、$t=\frac{\pi}{4}$ のときの $x$ の値を $\alpha$ とおく。

曲線 $C$ のうち、$0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{4}$ に対応する部分の関数を $y = y_1(x)$、$\frac{\pi}{4} \leqq t \leqq \pi$ に対応する部分の関数を $y = y_2(x)$ とする。 求める面積 $S$ は、曲線の上側の境界 $y_2(x)$ と下側の境界 $y_1(x)$ に挟まれた部分および $x$ 軸と囲まれる部分の面積の和・差として考えられるが、図形的な重なりを考慮すると次のように立式できる。

$$S = \int_{0}^{\alpha} y_2(x) \, dx - \int_{1+e^\pi}^{\alpha} y_1(x) \, dx$$

これを媒介変数 $t$ を用いた積分に置換する。 前者の積分区間 $x : 0 \to \alpha$ は $t : \pi \to \frac{\pi}{4}$ に対応し、後者の積分区間 $x : 1+e^\pi \to \alpha$ は $t : 0 \to \frac{\pi}{4}$ に対応する。

$$\begin{aligned} S &= \int_{\pi}^{\frac{\pi}{4}} y \frac{dx}{dt} \, dt - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} y \frac{dx}{dt} \, dt \\ &= - \int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi} y \frac{dx}{dt} \, dt - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} y \frac{dx}{dt} \, dt \\ &= - \int_{0}^{\pi} y \frac{dx}{dt} \, dt \end{aligned}$$

この定積分を計算する。$x, y$ の式と $\frac{dx}{dt}$ を代入する。

$$\begin{aligned} S &= - \int_{0}^{\pi} e^t \sin t \cdot e^t(\cos t - \sin t) \, dt \\ &= \int_{0}^{\pi} e^{2t}(\sin^2 t - \sin t \cos t) \, dt \end{aligned}$$

半角の公式および倍角の公式を用いて被積分関数を変形する。

$$\sin^2 t - \sin t \cos t = \frac{1 - \cos 2t}{2} - \frac{1}{2} \sin 2t = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}(\sin 2t + \cos 2t)$$

よって、積分は以下のように表せる。

$$S = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} e^{2t} \{1 - (\sin 2t + \cos 2t)\} \, dt$$

ここで、導関数についての関係式 $\left( \frac{1}{2} e^{2t} \sin 2t \right)' = e^{2t} \sin 2t + e^{2t} \cos 2t = e^{2t}(\sin 2t + \cos 2t)$ に着目すると、積分は次のように実行できる。

$$\begin{aligned} S &= \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2} e^{2t} - \frac{1}{2} e^{2t} \sin 2t \right]_{0}^{\pi} \\ &= \frac{1}{4} \left[ e^{2t} (1 - \sin 2t) \right]_{0}^{\pi} \\ &= \frac{1}{4} \{ e^{2\pi} (1 - 0) - e^0 (1 - 0) \} \\ &= \frac{e^{2\pi} - 1}{4} \end{aligned}$$

解説

媒介変数表示された曲線の面積を求める典型問題である。 増減表をかき、曲線がどの区間で進行し、どこで折り返すかを把握することが極めて重要である。立式を誤ると符号が反転したり、不要な部分の面積を加算してしまうミスに繋がる。 面積を $S = - \int y \frac{dx}{dt} dt$ の形にまとめた後の積分計算では、$e^{2t}$ と三角関数が混在するため、部分積分を繰り返す方針も取れるが、被積分関数を倍角で整理し、微分の逆算を利用すると劇的に計算量を減らすことができる。

答え

$$\frac{e^{2\pi} - 1}{4}$$