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数学3 定積分・面積問題 275 解説

方針・初手

(1) は $\cos^3 x = \cos x (1 - \sin^2 x)$ の変形を利用した基本的な定積分計算である。

(2) は $f(t)$ を立式し微分して増減を調べる。導関数 $f'(t)$ の符号変化を直接判定するのは難しいため、符号を決定する因数を取り出して新たな関数 $g(t)$ とおき、さらに微分して $g(t)$ の単調性から解の存在とただ1つの極値を持つことを示す。

(3) は (2) で得られた $f(\alpha)$ の式を $\alpha$ の関数とみなして評価する。示すべき不等式に $S$ の値を代入して目標を明確にし、関数としての単調性と、適当な有名角（この場合は $\frac{\pi}{6}$）における関数の値を利用して評価する。

解法1

(1)

求める面積 $S$ は、曲線 $y = \cos^3 x$ と座標軸で囲まれた部分の面積であるから、次のように計算できる。

$$\begin{aligned} S &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x \,dx \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x (1 - \sin^2 x) \,dx \\ &= \left[ \sin x - \frac{1}{3} \sin^3 x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\ &= 1 - \frac{1}{3} \\ &= \frac{2}{3} \end{aligned}$$

(2)

長方形 $\text{OPQR}$ の面積 $f(t)$ は、$t$ と $\cos^3 t$ の積である。

$$f(t) = t \cos^3 t$$

これを $t$ について微分する。

$$\begin{aligned} f'(t) &= 1 \cdot \cos^3 t + t \cdot 3 \cos^2 t (-\sin t) \\ &= \cos^2 t (\cos t - 3t \sin t) \end{aligned}$$

$0 < t < \frac{\pi}{2}$ において $\cos^2 t > 0$ であるため、$f'(t)$ の符号は $\cos t - 3t \sin t$ の符号と一致する。ここで、$g(t) = \cos t - 3t \sin t$ とおく。

$$\begin{aligned} g'(t) &= -\sin t - 3 (\sin t + t \cos t) \\ &= -4 \sin t - 3t \cos t \end{aligned}$$

$0 < t < \frac{\pi}{2}$ において $\sin t > 0$ かつ $\cos t > 0$ であるから、$g'(t) < 0$ である。したがって、$g(t)$ は $0 < t < \frac{\pi}{2}$ において単調に減少する。また、両端の極限または値について調べる。

$$g(0) = \cos 0 - 0 = 1 > 0$$

$$g\left(\frac{\pi}{2}\right) = \cos \frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{2} \sin \frac{\pi}{2} = -\frac{3\pi}{2} < 0$$

$g(t)$ は連続関数であるため、中間値の定理により、$g(t) = 0$ を満たす $t$ が $0 < t < \frac{\pi}{2}$ の範囲にただ1つ存在する。この $t$ を $\alpha$ とすると、$g(t)$ の単調減少性より、 $0 < t < \alpha$ のとき $g(t) > 0$ すなわち $f'(t) > 0$ $\alpha < t < \frac{\pi}{2}$ のとき $g(t) < 0$ すなわち $f'(t) < 0$ となる。したがって、$f(t)$ は $t = \alpha$ で極大かつ最大となり、最大値をとる $t$ はただ1つである。

このとき、$g(\alpha) = 0$ より、

$$\cos \alpha - 3\alpha \sin \alpha = 0$$

$$3\alpha \sin \alpha = \cos \alpha$$

$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ より $\sin \alpha > 0$ であるから、両辺を $3 \sin \alpha$ で割ると、

$$\alpha = \frac{\cos \alpha}{3 \sin \alpha}$$

これを用いて最大値 $f(\alpha)$ を変形する。

$$\begin{aligned} f(\alpha) &= \alpha \cos^3 \alpha \\ &= \frac{\cos \alpha}{3 \sin \alpha} \cos^3 \alpha \\ &= \frac{\cos^4 \alpha}{3 \sin \alpha} \end{aligned}$$

よって示された。

(3)

(1) より $S = \frac{2}{3}$ であるから、示すべき不等式は次と同値である。

$$\frac{f(\alpha)}{\frac{2}{3}} < \frac{9}{16}$$

$$f(\alpha) < \frac{3}{8}$$

(2) より $f(\alpha) = \frac{\cos^4 \alpha}{3 \sin \alpha}$ である。ここで、関数 $h(x) = \frac{\cos^4 x}{3 \sin x} \left( 0 < x < \frac{\pi}{2} \right)$ を考える。

$$\begin{aligned} h'(x) &= \frac{1}{3} \cdot \frac{4\cos^3 x (-\sin x) \sin x - \cos^4 x \cos x}{\sin^2 x} \\ &= -\frac{\cos^3 x (4 \sin^2 x + \cos^2 x)}{3 \sin^2 x} \end{aligned}$$

$0 < x < \frac{\pi}{2}$ において $\sin x > 0$ かつ $\cos x > 0$ であるから、$h'(x) < 0$ となり、$h(x)$ は単調に減少する。また、$x = \frac{\pi}{6}$ における $h(x)$ の値を計算する。

$$\begin{aligned} h\left(\frac{\pi}{6}\right) &= \frac{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^4}{3 \cdot \frac{1}{2}} \\ &= \frac{\frac{9}{16}}{\frac{3}{2}} \\ &= \frac{3}{8} \end{aligned}$$

したがって、$\alpha > \frac{\pi}{6}$ を示せば、$h(x)$ の単調減少性から $h(\alpha) < h\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{3}{8}$ となり、題意が示される。 $\alpha > \frac{\pi}{6}$ を示すために、(2) の $g(t)$ について $t = \frac{\pi}{6}$ の値を調べる。

$$\begin{aligned} g\left(\frac{\pi}{6}\right) &= \cos\frac{\pi}{6} - 3 \cdot \frac{\pi}{6} \sin\frac{\pi}{6} \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{4} \\ &= \frac{2\sqrt{3} - \pi}{4} \end{aligned}$$

ここで、$(2\sqrt{3})^2 = 12$、$\pi < 3.2$ より $\pi^2 < 10.24$ であるから、$2\sqrt{3} > \pi$ が成り立つ。よって、$g\left(\frac{\pi}{6}\right) > 0$ である。 (2) で示したように、$g(t)$ は単調減少であり、$g(\alpha) = 0$ であるから、$g\left(\frac{\pi}{6}\right) > g(\alpha)$ より $\frac{\pi}{6} < \alpha$ が成り立つ。以上より、$h(\alpha) < h\left(\frac{\pi}{6}\right)$ が成り立つため、

$$f(\alpha) < \frac{3}{8}$$

となり、両辺を $S = \frac{2}{3}$ で割ることで、

$$\frac{f(\alpha)}{S} < \frac{9}{16}$$

が示された。

解説

微積分を用いた関数の最大値の求値と、その最大値の評価を行う総合問題である。

(2) では $f'(t)$ が直接解けない方程式となるが、微分可能な関数の極値の存在と一意性を示すために、導関数の符号を決定する部分を新たな関数 $g(t)$ とおいて調べる手法が定石となる。最大値の形は、方程式 $g(\alpha)=0$ の関係式を用いて変数を減らす（あるいは次数を下げる）ことで導ける。

(3) では、(2) で求めた $f(\alpha)$ の式を $\alpha$ の関数 $h(\alpha)$ とみなし、その関数の単調性を利用して評価する点が山場となる。不等式の右辺から逆算して、有名角である $\frac{\pi}{6}$ でちょうど境界値 $\frac{3}{8}$ をとることに気づけるかがカギである。