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数学3 定積分・面積問題 276 解説

方針・初手

本問は、$f(t) = \frac{e^t + e^{-t}}{2}, g(t) = \frac{e^t - e^{-t}}{2}$ （いわゆる双曲線関数）に関する微積分と不等式評価の問題です。 $f'(t) = g(t), g'(t) = f(t)$ となる性質や、$\{f(t)\}^2 - \{g(t)\}^2 = 1, 2\{g(t)\}^2 = f(2t) - 1$ といった関係式（三角関数の公式に類似した性質）に気づくと、計算の見通しが良くなります。

(1) は、不等式の証明です。左側 $1 \leqq f(t)$ は相加平均と相乗平均の関係を利用するのが簡潔です。右側 $f(t) \leqq 1 + t^2$ は、差をとって微分し、増減を調べる定石に従います。 (2) は、媒介変数表示された曲線の面積計算です。$x$ と $t$ の対応関係に注意して置換積分を行います。 (3) は、(2) で求めた $S(a)$ を上から評価します。(1) で証明した不等式を利用できる形に式変形することがポイントです。

解法1

$f(t) = \frac{e^t + e^{-t}}{2}, g(t) = \frac{e^t - e^{-t}}{2}$ について、導関数はそれぞれ以下のようになる。

$$f'(t) = \frac{e^t - e^{-t}}{2} = g(t)$$

$$g'(t) = \frac{e^t + e^{-t}}{2} = f(t)$$

(1)

$1 \leqq f(t) \leqq 1 + t^2 \ (0 \leqq t \leqq \log 2)$ を示す。

[1] $1 \leqq f(t)$ について

$e^t > 0, e^{-t} > 0$ であるから、相加平均と相乗平均の関係より

$$f(t) = \frac{e^t + e^{-t}}{2} \geqq \sqrt{e^t \cdot e^{-t}} = 1$$

等号は $e^t = e^{-t}$ すなわち $t = 0$ のとき成立する。したがって、$t \geqq 0$ において $1 \leqq f(t)$ が成り立ち、当然 $0 \leqq t \leqq \log 2$ でも成り立つ。

[2] $f(t) \leqq 1 + t^2$ について

$h(t) = 1 + t^2 - f(t)$ とおく。$0 \leqq t \leqq \log 2$ において $h(t) \geqq 0$ であることを示せばよい。 $h(t)$ を微分すると

$$h'(t) = 2t - f'(t) = 2t - g(t)$$

$$h''(t) = 2 - g'(t) = 2 - f(t)$$

ここで、$f'(t) = g(t)$ であり、$t \geqq 0$ において $e^t \geqq 1 \geqq e^{-t}$ であるから $g(t) \geqq 0$ となる。ゆえに、$f(t)$ は $t \geqq 0$ において単調増加である。したがって、$0 \leqq t \leqq \log 2$ における $f(t)$ の最大値は

$$f(\log 2) = \frac{e^{\log 2} + e^{-\log 2}}{2} = \frac{2 + \frac{1}{2}}{2} = \frac{5}{4}$$

これより、$0 \leqq t \leqq \log 2$ において

$$h''(t) = 2 - f(t) \geqq 2 - \frac{5}{4} = \frac{3}{4} > 0$$

$h''(t) > 0$ であるから、$h'(t)$ は $0 \leqq t \leqq \log 2$ において単調増加する。 $h'(0) = 0 - g(0) = 0$ であるから、$0 < t \leqq \log 2$ において $h'(t) > 0$ となる。よって、$h(t)$ も $0 \leqq t \leqq \log 2$ において単調増加する。 $h(0) = 1 + 0 - f(0) = 1 - 1 = 0$ であるから、$0 \leqq t \leqq \log 2$ において $h(t) \geqq 0$ が成り立つ。

[1], [2] より、$0 \leqq t \leqq \log 2$ に対して $1 \leqq f(t) \leqq 1 + t^2$ が示された。

(2)

曲線 $C$ 上の点 $(x, y)$ は $x = f(t), y = g(t) \ (t \geqq 0)$ と表される。 $t \geqq 0$ のとき、(1) より $f'(t) = g(t) \geqq 0$ であるから、$x$ は単調増加する。また、$y = g(t) \geqq 0$ である。 $t=0$ のとき $x = f(0) = 1$ であり、$t=a \ (a>0)$ のとき $x = f(a)$ である。求める面積 $S(a)$ は、曲線 $C$ と $x$ 軸（$y=0$）および $x = f(a)$ で囲まれる領域の面積であるから

$$S(a) = \int_{1}^{f(a)} y \, dx$$

$x = f(t)$ より $dx = f'(t) \, dt = g(t) \, dt$ となり、積分区間は $x: 1 \rightarrow f(a)$ に対応して $t: 0 \rightarrow a$ となる。

$$\begin{aligned} S(a) &= \int_{0}^{a} g(t) \cdot g(t) \, dt \\ &= \int_{0}^{a} \left( \frac{e^t - e^{-t}}{2} \right)^2 dt \\ &= \frac{1}{4} \int_{0}^{a} (e^{2t} - 2 + e^{-2t}) \, dt \\ &= \frac{1}{4} \left[ \frac{1}{2}e^{2t} - 2t - \frac{1}{2}e^{-2t} \right]_{0}^{a} \\ &= \frac{1}{4} \left( \frac{e^{2a} - e^{-2a}}{2} - 2a \right) \\ &= \frac{e^{2a} - e^{-2a} - 4a}{8} \end{aligned}$$

(3)

(2) の計算過程より、$S(a) = \int_{0}^{a} \{g(t)\}^2 dt$ であるから

$$S'(a) = \{g(a)\}^2$$

ここで、$D(a) = \frac{2}{3}a^3 - S(a)$ とおく。$0 < a \leqq \frac{\log 2}{2}$ において $D(a) \geqq 0$ を示せばよい。 $D(a)$ を微分すると

$$D'(a) = 2a^2 - S'(a) = 2a^2 - \{g(a)\}^2$$

$\{g(a)\}^2$ を変形すると

$$\begin{aligned} \{g(a)\}^2 &= \left( \frac{e^a - e^{-a}}{2} \right)^2 \\ &= \frac{e^{2a} - 2 + e^{-2a}}{4} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{e^{2a} + e^{-2a}}{2} - \frac{1}{2} \\ &= \frac{f(2a) - 1}{2} \end{aligned}$$

したがって、$D'(a)$ は次のように表される。

$$D'(a) = 2a^2 - \frac{f(2a) - 1}{2} = \frac{1 + 4a^2 - f(2a)}{2}$$

$a$ の範囲は $0 < a \leqq \frac{\log 2}{2}$ であるから、$0 < 2a \leqq \log 2$ となる。 (1) で示した不等式 $f(t) \leqq 1 + t^2 \ (0 \leqq t \leqq \log 2)$ において、$t = 2a$ とすると

$$f(2a) \leqq 1 + (2a)^2 = 1 + 4a^2$$

よって、$1 + 4a^2 - f(2a) \geqq 0$ となり、$D'(a) \geqq 0$ が成り立つ。したがって、$D(a)$ は $0 \leqq a \leqq \frac{\log 2}{2}$ において単調増加する。 $D(0) = 0 - S(0) = 0$ であるから、$0 < a \leqq \frac{\log 2}{2}$ において

$$D(a) > D(0) = 0$$

すなわち、$S(a) < \frac{2}{3}a^3$ となり、題意の $S(a) \leqq \frac{2}{3}a^3$ が示された。

解法2

(1), (2) は解法1と同じである。(3) の別解を示す。

(3) の別解

(2) より、$S(a)$ は次のように変形できる。

$$\begin{aligned} S(a) &= \frac{1}{4} \left( \frac{e^{2a} - e^{-2a}}{2} - 2a \right) \\ &= \frac{g(2a) - 2a}{4} \end{aligned}$$

一方、(1) より $0 \leqq x \leqq \log 2$ において $f(x) \leqq 1 + x^2$ が成り立つ。 $0 \leqq t \leqq \log 2$ なる $t$ に対して、この不等式の両辺を $x$ について $0$ から $t$ まで定積分すると

$$\int_{0}^{t} f(x) \, dx \leqq \int_{0}^{t} (1 + x^2) \, dx$$

左辺は $[g(x)]_{0}^{t} = g(t) - g(0) = g(t)$、右辺は $\left[ x + \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{t} = t + \frac{t^3}{3}$ となるので

$$g(t) \leqq t + \frac{t^3}{3}$$

が成り立つ。 $0 < a \leqq \frac{\log 2}{2}$ のとき、$0 < 2a \leqq \log 2$ であるから、上式に $t = 2a$ を代入して適用できる。

$$g(2a) \leqq 2a + \frac{(2a)^3}{3} = 2a + \frac{8}{3}a^3$$

これを $S(a)$ の式に代入すると

$$\begin{aligned} S(a) &= \frac{g(2a) - 2a}{4} \\ &\leqq \frac{\left( 2a + \frac{8}{3}a^3 \right) - 2a}{4} \\ &= \frac{2}{3}a^3 \end{aligned}$$

したがって、$S(a) \leqq \frac{2}{3}a^3$ が示された。

解説

双曲線関数 $f(t) = \cosh t, g(t) = \sinh t$ を題材にした微分積分の総合問題です。 (3) は(1)の不等式をどのように活用するかが鍵となります。解法1のように差をとって微分し、導関数の中に $f(2a)$ を出現させて(1)を適用するのが最も確実で自然な発想です。解法2のように、(1)の不等式を積分して $g(t)$ に関する不等式を作り出す手法も、難関大ではしばしば要求されるエレガントな処理です。積分の計算結果 $S(a)$ が $g(2a)$ を用いて表せることに気づけば、この解法も見えてきます。