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数学3 定積分・面積問題 277 解説

方針・初手

(1)は、関数 $f(x)$ の式に現れる三角関数を $\sin x$ に統一し、$t = \sin x$ と置き換えて $t$ の関数として微分法を用いて増減を調べる。 (2)は、積分区間における $f(x)$ の符号を確認した上で定積分を計算する。その際、$(\cos x e^{\sin x})'$ を計算すると被積分関数の一部が現れることに気づくのがポイントである。

解法1

(1)

$$f(x) = (\sin x - \cos^2 x)e^{\sin x} + 2e$$

$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ を代入して整理すると、

$$f(x) = (\sin^2 x + \sin x - 1)e^{\sin x} + 2e$$

ここで、$t = \sin x$ とおく。$x$ は実数全体を動くので、$t$ のとり得る値の範囲は

$$-1 \leqq t \leqq 1$$

このとき、$f(x)$ を $t$ の関数とみなし、それを $g(t)$ とおくと、

$$g(t) = (t^2 + t - 1)e^t + 2e$$

$g(t)$ を $t$ について微分すると、

$$\begin{aligned} g'(t) &= (2t + 1)e^t + (t^2 + t - 1)e^t \\ &= (t^2 + 3t)e^t \\ &= t(t + 3)e^t \end{aligned}$$

$-1 \leqq t \leqq 1$ において $e^t > 0$ かつ $t + 3 > 0$ であるから、$g'(t) = 0$ となるのは $t = 0$ のときのみである。よって、$-1 \leqq t \leqq 1$ における $g(t)$ の増減表は次のようになる。

$t$	$-1$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$1$
$g'(t)$		$-$	$0$	$+$
$g(t)$	$2e - \frac{1}{e}$	$\searrow$	$2e - 1$	$\nearrow$	$3e$

ここで、両端の値を比較する。

$$g(1) - g(-1) = 3e - \left( 2e - \frac{1}{e} \right) = e + \frac{1}{e} > 0$$

ゆえに、$g(1) > g(-1)$ である。したがって、$f(x)$ の最大値は $3e$、最小値は $2e - 1$ である。

(2)

区間 $0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ において、$t = \sin x$ は $0 \leqq t \leqq 1$ を動く。 (1)の増減表より、この区間で $f(x) \geqq 2e - 1 > 0$ である。したがって、求める面積を $S$ とすると、$S$ は以下の定積分で表される。

$$S = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \{ (\sin x - \cos^2 x)e^{\sin x} + 2e \} dx$$

ここで、$h(x) = \cos x e^{\sin x}$ とおき、その導関数を計算する。

$$\begin{aligned} h'(x) &= (\cos x)' e^{\sin x} + \cos x (e^{\sin x})' \\ &= -\sin x e^{\sin x} + \cos x \cdot (\cos x e^{\sin x}) \\ &= (\cos^2 x - \sin x)e^{\sin x} \end{aligned}$$

ゆえに、

$$(\sin x - \cos^2 x)e^{\sin x} = -(\cos x e^{\sin x})'$$

が成り立つ。これを用いて定積分を計算すると、

$$\begin{aligned} S &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \{ -(\cos x e^{\sin x})' + 2e \} dx \\ &= \left[ -\cos x e^{\sin x} + 2ex \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\ &= \left( -\cos \frac{\pi}{2} e^{\sin \frac{\pi}{2}} + 2e \cdot \frac{\pi}{2} \right) - \left( -\cos 0 e^{\sin 0} + 0 \right) \\ &= (0 + \pi e) - (-1 \cdot 1) \\ &= \pi e + 1 \end{aligned}$$

よって、求める面積は $\pi e + 1$ である。

解説

(1)は、式に現れる関数を1種類に統一する基本的な問題である。三角関数の相互関係を用いて $\sin x$ に統一し、置換積分のように変数を置き換えることで、多項式と指数関数の積の微分に帰着できる。定義域の確認を忘れないようにしたい。

(2)は、積分計算の工夫が問われている。$(\sin x - \cos^2 x)e^{\sin x}$ をそのまま展開して部分積分を繰り返すのは困難であるため、微分の逆算として被積分関数を見つける視点が必要となる。$e^{g(x)}$ の形が含まれる関数の積分では、$(f(x)e^{g(x)})'$ を計算してみて被積分関数と見比べる手法が有効である。本問では $g(x) = \sin x$ であることから、 $f(x)$ として $\cos x$ を試してみるとうまくいく。