数学3 定積分・面積 問題 278 解説

方針・初手

対数関数と無理関数の積の定積分であるから、部分積分法を用いるのが定石である。積分区間が $1 \leqq x \leqq 4$ であるため $x>0$ であり、事前に $\log(x^2) = 2\log x$ と変形しておくことで計算の見通しが良くなる。また、$\sqrt{x} = t$ のような置換積分を用いて被積分関数を整式と対数の積に変換する方針も有効である。

解法1

積分区間において $x > 0$ であるから、$\log(x^2) = 2\log x$ と変形できる。 求める定積分を $I$ とすると、

$$I = \int_{1}^{4} \sqrt{x} \log(x^2) dx = 2 \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} \log x dx$$

となる。ここで部分積分法を用いる。

$$\begin{aligned} I &= 2 \int_{1}^{4} \left( \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \right)^{\prime} \log x dx \\ &= 2 \left[ \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \log x \right]_{1}^{4} - 2 \int_{1}^{4} \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{1}{x} dx \\ &= \frac{4}{3} \left( 4^{\frac{3}{2}} \log 4 - 1^{\frac{3}{2}} \log 1 \right) - \frac{4}{3} \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} dx \end{aligned}$$

$4^{\frac{3}{2}} = (2^2)^{\frac{3}{2}} = 2^3 = 8$ であり、$\log 4 = 2\log 2$、$\log 1 = 0$ であるから、第1項は以下のようになる。

$$\frac{4}{3} (8 \cdot 2\log 2 - 0) = \frac{64}{3} \log 2$$

次に第2項に含まれる定積分を計算する。

$$\begin{aligned} \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} dx &= \left[ \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \right]_{1}^{4} \\ &= \frac{2}{3} (4^{\frac{3}{2}} - 1^{\frac{3}{2}}) \\ &= \frac{2}{3} (8 - 1) \\ &= \frac{14}{3} \end{aligned}$$

これを元の式に代入して、定積分 $I$ の値を求める。

$$\begin{aligned} I &= \frac{64}{3} \log 2 - \frac{4}{3} \cdot \frac{14}{3} \\ &= \frac{64}{3} \log 2 - \frac{56}{9} \end{aligned}$$

解法2

$\sqrt{x} = t$ とおいて置換積分を行う。

$x = t^2$ であり、両辺を $t$ で微分すると $dx = 2t dt$ となる。 積分区間について、$x$ が $1$ から $4$ まで変化するとき、$t$ は $1$ から $2$ まで変化する。

このとき、積分区間において $t > 0$ であるから、$\log(x^2) = \log(t^4) = 4\log t$ となる。 したがって、求める定積分 $I$ は以下のように書き換えられる。

$$\begin{aligned} I &= \int_{1}^{2} t \cdot (4\log t) \cdot 2t dt \\ &= 8 \int_{1}^{2} t^2 \log t dt \end{aligned}$$

ここで部分積分法を用いる。

$$\begin{aligned} I &= 8 \int_{1}^{2} \left( \frac{t^3}{3} \right)^{\prime} \log t dt \\ &= 8 \left[ \frac{t^3}{3} \log t \right]_{1}^{2} - 8 \int_{1}^{2} \frac{t^3}{3} \cdot \frac{1}{t} dt \\ &= 8 \left( \frac{8}{3} \log 2 - 0 \right) - \frac{8}{3} \int_{1}^{2} t^2 dt \\ &= \frac{64}{3} \log 2 - \frac{8}{3} \left[ \frac{t^3}{3} \right]_{1}^{2} \\ &= \frac{64}{3} \log 2 - \frac{8}{3} \left( \frac{8}{3} - \frac{1}{3} \right) \\ &= \frac{64}{3} \log 2 - \frac{8}{3} \cdot \frac{7}{3} \\ &= \frac{64}{3} \log 2 - \frac{56}{9} \end{aligned}$$

解説

数学IIIの積分計算における基本問題である。対数関数が含まれる積分では、部分積分法を用いて対数関数を微分する側に回すのが定石である。

被積分関数にそのまま部分積分を適用しても解答には辿り着けるが、解法1のように対数の性質を用いて定数倍をくくり出したり、解法2のように根号を解消する置換積分を行ったりすることで、微分積分の計算ミスを大幅に減らすことができる。基本的な計算力が問われるため、着実に処理して完答したい。

答え

$$\frac{64}{3} \log 2 - \frac{56}{9}$$