数学A 平面図形 問題 11 解説

方針・初手

円周角が直角であることから $AC$ が直径であると見る。すると、弧の条件から $\overset{\frown}{AD}$ と $\overset{\frown}{CD}$ の大きさが決まり、弦 $AD$ と $CD$ の比が出る。

さらに、点 $P$ からの2本の割線について方べきの定理を用いれば、$y=BC$ を求められる。

解法1

図より $\angle ABC=90^\circ$ であるから、円周角の定理より $AC$ は円の直径である。

したがって、点 $A,D,C$ は同じ半円上にあり、

$$ \overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{CD}=180^\circ $$

である。条件より

$$ \overset{\frown}{AD}=2\overset{\frown}{CD} $$

だから、

$$ 3\overset{\frown}{CD}=180^\circ $$

より

$$ \overset{\frown}{CD}=60^\circ,\qquad \overset{\frown}{AD}=120^\circ $$

である。

円の半径を $R$ とすると、弧 $CD$ に対する弦 $CD$ は

$$ CD=2R\sin 30^\circ=R $$

であり、弧 $AD$ に対する弦 $AD$ は

$$ AD=2R\sin 60^\circ=\sqrt{3}R $$

である。よって

$$ AD=\sqrt{3}CD $$

となる。

また、$AC$ は直径であるから

$$ \angle ADC=90^\circ $$

である。点 $A,D,P$ は一直線上にあるので、$CD\perp DP$ である。したがって、三角形 $CDP$ は $D$ を直角とする直角三角形である。

図より $DP=12,\ CP=13$ だから、三平方の定理より

$$ CD^2+DP^2=CP^2 $$

すなわち

$$ CD^2+12^2=13^2 $$

である。よって

$$ CD^2=169-144=25 $$

より

$$ CD=5 $$

である。

したがって

$$ x=AD=\sqrt{3}CD=5\sqrt{3} $$

である。

次に、点 $P$ からの2本の割線について方べきの定理を用いる。上の割線では近い交点が $D$、遠い交点が $A$ であり、下の割線では近い交点が $C$、遠い交点が $B$ である。

よって

$$ PD\cdot PA=PC\cdot PB $$

が成り立つ。ここで

$$ PA=PD+AD=12+x $$

また

$$ PB=PC+BC=13+y $$

であるから、

$$ 12(12+x)=13(13+y) $$

となる。

$x=5\sqrt{3}$ を代入すると、

$$ 12(12+5\sqrt{3})=13(13+y) $$

である。これを整理して

$$ 144+60\sqrt{3}=169+13y $$

となるので、

$$ 13y=60\sqrt{3}-25 $$

したがって

$$ y=\frac{60\sqrt{3}-25}{13} $$

である。

解説

この問題では、まず図中の直角に注目して $AC$ が直径であることを見抜くのが重要である。これにより、$\overset{\frown}{AD}$ と $\overset{\frown}{CD}$ が同じ半円上の弧になるため、弧の比から弦の比が求められる。

また、$AC$ が直径であることから $\angle ADC=90^\circ$ となり、$A,D,P$ が一直線上にあるため三角形 $CDP$ が直角三角形になる。この部分を見落とすと、$CD$ の長さを求められない。

最後の $y$ は、2本の割線に対する方べきの定理

$$ PD\cdot PA=PC\cdot PB $$

を使うのが自然である。$PA$ と $PB$ はそれぞれ全体の長さなので、$PA=12+x,\ PB=13+y$ と置く点に注意する。

答え

$$ x=5\sqrt{3},\qquad y=\frac{60\sqrt{3}-25}{13} $$