数学A 平面図形 問題 10 解説

方針・初手

線分比だけが問題なので、三角形の形は自由に取り替えてよい。そこで座標を入れ、$AD$ 上の点 $P$ を媒介変数で表す。交点条件から $AP:PD$ を求め、その後、面積比は底辺と高さの比から求める。

解法1

$BD:DC=1:b$ より、計算しやすいように

$$ B=(0,0),\quad C=(b+1,0),\quad D=(1,0) $$

とおく。また、$A=(0,1)$ としてよい。

$AE:EB=1:a$ であるから、点 $E$ は $AB$ を $1:a$ に内分する点である。したがって

$$ E=\left(0,\frac{a}{a+1}\right) $$

である。

点 $P$ は $AD$ 上にあるので、

$$ P=A+t(D-A) $$

とおく。ただし $0<t<1$ であり、このとき

$$ \frac{AP}{AD}=t $$

である。

$A=(0,1),D=(1,0)$ より、

$$ P=(t,1-t) $$

となる。

一方、$P$ は直線 $EC$ 上にもある。$E$ から $C$ へ向かう媒介変数を $s$ として

$$ P=E+s(C-E) $$

とおくと、

$$ P=\left(s(b+1),\frac{a}{a+1}(1-s)\right) $$

である。

よって座標を比較して

$$ t=s(b+1) $$

および

$$ 1-t=\frac{a}{a+1}(1-s) $$

を得る。$s=\dfrac{t}{b+1}$ を代入すると、

$$ 1-t=\frac{a}{a+1}\left(1-\frac{t}{b+1}\right) $$

である。これを解く。

$$ \begin{aligned} (a+1)(1-t)&=a\left(1-\frac{t}{b+1}\right)\\ a+1-(a+1)t&=a-\frac{at}{b+1}\\ 1&=\left(a+1-\frac{a}{b+1}\right)t\\ 1&=\frac{ab+b+1}{b+1}t \end{aligned} $$

したがって

$$ t=\frac{b+1}{ab+b+1} $$

である。

ゆえに

$$ \frac{AP}{AD}=\frac{b+1}{ab+b+1} $$

であり、

$$ \frac{PD}{AD}=1-\frac{b+1}{ab+b+1} =\frac{ab}{ab+b+1} $$

である。したがって

$$ AP:PD=(b+1):ab $$

となる。

次に、面積比を求める。

$AE$ は $AB$ 上の線分であり、

$$ AE=\frac{1}{a+1}AB $$

である。ここでは $AB=1$ とおいているので、

$$ AE=\frac{1}{a+1} $$

である。

また、$AE$ は $y$ 軸上の線分であるから、点 $P=(t,1-t)$ から直線 $AB$ までの距離は $t$ である。したがって

$$ \triangle APE =\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{a+1}\cdot t $$

である。

一方、

$$ \triangle ABC =\frac{1}{2}\cdot BC\cdot 1 =\frac{1}{2}(b+1) $$

である。

よって

$$ \begin{aligned} \frac{\triangle APE}{\triangle ABC} &= \frac{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{a+1}\cdot t}{\frac{1}{2}(b+1)} \\ \frac{t}{(a+1)(b+1)} \end{aligned} $$

である。ここに

$$ t=\frac{b+1}{ab+b+1} $$

を代入すると、

$$ \begin{aligned} \frac{\triangle APE}{\triangle ABC} &= \frac{1}{(a+1)(ab+b+1)} \end{aligned} $$

となる。

したがって

$$ \begin{aligned} \triangle APE:\triangle ABC &= 1:(a+1)(ab+b+1) \end{aligned} $$

である。

解説

この問題では、三角形の形そのものは本質ではなく、線分比だけが重要である。そのため、座標を都合よく設定してよい。

$P$ が $AD$ 上にあることから $P=A+t(D-A)$ とおくと、$t$ がそのまま $\dfrac{AP}{AD}$ を表す。これにより、交点を求める計算と線分比の計算が直接つながる。

面積比では、$\triangle APE$ の底辺を $AE$ と見れば、高さは点 $P$ から直線 $AB$ までの距離になる。座標をうまく取っておくと、この高さが $P$ の $x$ 座標 $t$ そのものになるため、計算が簡単になる。

答え

(1)

$$ AP:PD=(b+1):ab $$

(2)

$$ \begin{aligned} \triangle APE:\triangle ABC &= 1:(a+1)(ab+b+1) \end{aligned} $$