数学A 平面図形 問題 13 解説

方針・初手

3本の線分 $AD, CE, BF$ がそれぞれ三角形の頂点から対辺上の点へ引かれているので、チェバの定理を用いる。

ただし $D$ は $\angle A$ の二等分線と $BC$ の交点であるから、角の二等分線の定理により $BD:DC$ を $AB:AC$ で表せる。

解法1

$AC=x$ とおく。

$AD$ は $\angle A$ の二等分線であるから、角の二等分線の定理より

$$ BD:DC=AB:AC=12:x $$

である。したがって

$$ \frac{BD}{DC}=\frac{12}{x} $$

となる。

また、$E$ は辺 $AB$ を $5:4$ に内分するので

$$ AE:EB=5:4 $$

より

$$ \frac{AE}{EB}=\frac{5}{4} $$

である。

$F$ は辺 $AC$ を $1:6$ に内分するので

$$ AF:FC=1:6 $$

より

$$ \frac{CF}{FA}=6 $$

である。

ここで、線分 $AD, CE, BF$ が1点で交わるから、チェバの定理より

$$ \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CF}{FA}\cdot \frac{AE}{EB}=1 $$

が成り立つ。

これに各比を代入すると

$$ \frac{12}{x}\cdot 6\cdot \frac{5}{4}=1 $$

である。左辺を整理して

$$ \frac{90}{x}=1 $$

となるから、

$$ x=90 $$

である。

したがって

$$ AC=90 $$

である。

解説

この問題は、角の二等分線の定理とチェバの定理を組み合わせる典型問題である。

$D$ については比が直接与えられていないが、$AD$ が角の二等分線であることから

$$ BD:DC=AB:AC $$

と表せる。ここで $AC$ を未知数として置けば、他の2点 $E,F$ の内分比と合わせてチェバの定理に代入できる。

注意すべき点は、チェバの定理で使う比の向きである。今回は

$$ \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CF}{FA}\cdot \frac{AE}{EB}=1 $$

の形にそろえるため、$F$ については $AF:FC=1:6$ から $\frac{CF}{FA}=6$ とする。

答え

$$ AC=90 $$