数学A 平面図形 問題 14 解説

方針・初手

接線半径の関係より $OT\perp PT$ である。したがって、まず直角三角形 $OPT$ から $PT,OP$ を求める。

その後、座標を置いて、角の二等分線と直線 $AT$ の交点 $B$ を求めれば、角度と長さが計算できる。最後の面積最大は、底辺 $BT$ を固定し、点 $C$ から直線 $BT$ までの距離を最大にする問題として考える。

解法1

点 $P$ を原点、直線 $PT$ を $x$ 軸とし、$T$ が正の向きにあるように座標を置く。

円の半径は $5$ で、接点 $T$ において

$$ OT\perp PT $$

である。また $\angle OPT=30^\circ$ だから、直角三角形 $OPT$ において

$$ OT=5,\qquad \angle OPT=30^\circ $$

である。よって

$$ OP=\frac{5}{\sin 30^\circ}=10 $$

であり、

$$ PT=OP\cos 30^\circ=10\cdot \frac{\sqrt3}{2}=5\sqrt3 $$

となる。

したがって

$$ P=(0,0),\qquad T=(5\sqrt3,0) $$

とおける。また、$O$ は $T$ の真上に半径 $5$ だけ離れた点なので

$$ O=(5\sqrt3,5) $$

である。

点 $A$ は直線 $PO$ と円の交点のうち、点 $P$ から遠い方である。$P,O,A$ はこの順に一直線上にあり、$OA=5$ だから

$$ PA=PO+OA=10+5=15 $$

である。

また、$PO$ は $x$ 軸となす角が $30^\circ$ であるから、点 $A$ の座標は

$$ A=\left(15\cos30^\circ,15\sin30^\circ\right) =\left(\frac{15\sqrt3}{2},\frac{15}{2}\right) $$

である。

次に点 $B$ を求める。$\angle OPT=30^\circ$ の二等分線は、$x$ 軸となす角が $15^\circ$ の直線である。したがって

$$ PB:\ y=\tan15^\circ x=(2-\sqrt3)x $$

である。

一方、直線 $AT$ の傾きは

$$ \begin{aligned} \frac{\frac{15}{2}-0}{\frac{15\sqrt3}{2}-5\sqrt3} &= \frac{\frac{15}{2}}{\frac{5\sqrt3}{2}} =\sqrt3 \end{aligned} $$

であるから、

$$ AT:\ y=\sqrt3(x-5\sqrt3)=\sqrt3 x-15 $$

である。

$B$ はこれらの交点なので

$$ (2-\sqrt3)x=\sqrt3 x-15 $$

より

$$ x=\frac{15(1+\sqrt3)}{4} $$

である。したがって

$$ y=(2-\sqrt3)x=\frac{15(\sqrt3-1)}{4} $$

となり、

$$ B=\left(\frac{15(1+\sqrt3)}{4},\frac{15(\sqrt3-1)}{4}\right) $$

である。

ここで

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{TB} &= \left( \frac{15(1+\sqrt3)}{4}-5\sqrt3,\frac{15(\sqrt3-1)}{4} \right) \end{aligned} $$

である。整理すると

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{TB} &= \left( \frac{5(3-\sqrt3)}{4},\frac{15(\sqrt3-1)}{4} \right) &= \frac{5(\sqrt3-1)}{4}(\sqrt3,3) \end{aligned} $$

となる。

よって、直線 $TB$ は正の $x$ 軸となす角が

$$ \tan^{-1}\frac{3}{\sqrt3}=60^\circ $$

である。直線 $TP$ は負の $x$ 軸方向であるから、

$$ \angle PTB=180^\circ-60^\circ=120^\circ $$

である。

また、

$$ \begin{aligned} BT= \left|\overrightarrow{TB}\right| &= \frac{5(\sqrt3-1)}{4}\sqrt{(\sqrt3)^2+3^2} \end{aligned} $$

より

$$ \begin{aligned} BT &= \frac{5(\sqrt3-1)}{4}\sqrt{12} \\ \frac{5(\sqrt3-1)}{4}\cdot 2\sqrt3 \\ \frac{5(3-\sqrt3)}{2} \end{aligned} $$

である。

最後に、点 $C$ を円周上にとるとき、三角形 $BCT$ の底辺 $BT$ は固定されている。したがって面積を最大にするには、点 $C$ から直線 $BT$ までの距離を最大にすればよい。

$B$ は直線 $AT$ 上にあるので、直線 $BT$ は直線 $AT$ と一致する。

また、$A,T$ は円周上の点であり、$AT$ は円の弦である。中心角 $\angle AOT$ について、$OA$ は $x$ 軸となす角が $30^\circ$、$OT$ は鉛直下向きであるから

$$ \angle AOT=120^\circ $$

である。

したがって、中心 $O$ から弦 $AT$ までの距離は

$$ 5\cos\frac{120^\circ}{2}=5\cos60^\circ=\frac{5}{2} $$

である。

円周上の点から直線 $AT$ までの距離の最大値は、中心から直線 $AT$ までの距離に半径を加えたものなので

$$ \frac{5}{2}+5=\frac{15}{2} $$

である。

よって、三角形 $BCT$ の面積の最大値は

$$ \begin{aligned} \frac12\cdot BT\cdot \frac{15}{2} &= \frac12\cdot \frac{5(3-\sqrt3)}{2}\cdot \frac{15}{2} \end{aligned} $$

である。したがって

$$ \begin{aligned} \text{最大面積} &= \frac{75(3-\sqrt3)}{8} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題では、最初に直角三角形 $OPT$ を見ることが重要である。接線と半径は接点で垂直に交わるため、$\angle OPT=30^\circ$ から $OP,PT$ がすぐに決まる。

点 $B$ は角の二等分線と弦 $AT$ の交点であり、角度だけで処理しようとするとやや煩雑である。座標を置くと、角の二等分線は傾き $\tan15^\circ=2-\sqrt3$ の直線、$AT$ は傾き $\sqrt3$ の直線となり、交点を機械的に求められる。

面積最大の問題では、$B,T$ が固定されていることに注目する。底辺 $BT$ を固定すると、面積は点 $C$ から直線 $BT$ までの距離だけで決まる。したがって、円周上の点から弦 $AT$ の直線までの最大距離を求めればよい。

答え

(1)

$$ \angle PTB=120^\circ $$

(2)

$$ PT=5\sqrt3 $$

(3)

$$ PA=15 $$

(4)

$$ BT=\frac{5(3-\sqrt3)}{2} $$

(5)

$$ \frac{75(3-\sqrt3)}{8} $$