トップ› 基礎問題› 数学A› 図形の性質› 平面図形› 問題 22

数学A 平面図形問題 22 解説

方針・初手

$M$ は $AB$ の中点であるから、$AM=BM$ である。三角形 $OAM$ と $OBM$ は、底辺をそれぞれ $AM,BM$ と見れば、高さが共通であるため面積が等しい。

この面積の等式から $2\sin\alpha=\sin\beta$ を導き、以後は $\angle AOB=\alpha+\beta$ と余弦定理を組み合わせる。

解法1

(1)

$M$ は $AB$ の中点なので、

$$ AM=BM $$

である。また、点 $O$ から直線 $AB$ に下ろした高さは、三角形 $OAM$ と三角形 $OBM$ で共通である。したがって、

$$ [OAM]=[OBM] $$

である。

一方、$OM$ を共通な辺として面積を表すと、

$$ [OAM]=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot OM\sin\alpha =\frac{1}{2}\cdot 2\cdot OM\sin\alpha =OM\sin\alpha $$

であり、

$$ [OBM]=\frac{1}{2}\cdot OB\cdot OM\sin\beta =\frac{1}{2}\cdot 1\cdot OM\sin\beta =\frac{1}{2}OM\sin\beta $$

である。

よって、

$$ OM\sin\alpha=\frac{1}{2}OM\sin\beta $$

である。$OM>0$ より、

$$ 2\sin\alpha=\sin\beta $$

が成り立つ。

(2)

$\angle AOB=\alpha+\beta$ である。$AB=\sqrt{7}$ であるから、三角形 $OAB$ に余弦定理を用いると、

$$ AB^2=OA^2+OB^2-2\cdot OA\cdot OB\cos\angle AOB $$

より、

$$ 7=2^2+1^2-2\cdot 2\cdot 1\cos(\alpha+\beta) $$

である。したがって、

$$ 7=5-4\cos(\alpha+\beta) $$

となるので、

$$ \cos(\alpha+\beta)=-\frac{1}{2} $$

である。

三角形の内角であるから $0<\alpha+\beta<\pi$ であり、

$$ \alpha+\beta=\frac{2\pi}{3} $$

である。

（1）より、

$$ 2\sin\alpha=\sin\beta $$

である。ここで $\beta=\dfrac{2\pi}{3}-\alpha$ とおくと、

$$ 2\sin\alpha=\sin\left(\frac{2\pi}{3}-\alpha\right) $$

である。右辺を加法定理で展開すると、

$$ \sin\left(\frac{2\pi}{3}-\alpha\right) =\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha+\frac{1}{2}\sin\alpha $$

であるから、

$$ 2\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha+\frac{1}{2}\sin\alpha $$

となる。整理して、

$$ \frac{3}{2}\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha $$

すなわち、

$$ \tan\alpha=\frac{1}{\sqrt{3}} $$

である。

$0<\alpha<\dfrac{2\pi}{3}$ より、

$$ \alpha=\frac{\pi}{6} $$

である。したがって、

$$ \beta=\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{6} =\frac{\pi}{2} $$

である。

(3)

（1）より、

$$ 2\sin\alpha=\sin\beta $$

である。よって $\sin\beta\leqq 1$ から、

$$ 2\sin\alpha\leqq 1 $$

すなわち、

$$ \sin\alpha\leqq \frac{1}{2} $$

である。

ここで、$\alpha$ が鋭角であることを確認する。$\vec{OA}=\mathbf{a}$、$\vec{OB}=\mathbf{b}$ とすると、

$$ |\mathbf{a}|=2,\qquad |\mathbf{b}|=1 $$

であり、$M$ は $AB$ の中点なので、

$$ \vec{OM}=\frac{\mathbf{a}+\mathbf{b}}{2} $$

である。

したがって、

$$ \vec{OA}\cdot\vec{OM} =\mathbf{a}\cdot\frac{\mathbf{a}+\mathbf{b}}{2} =\frac{|\mathbf{a}|^2+\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{2} $$

である。$\angle AOB=\theta$ とおくと、

$$ \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta=2\cos\theta $$

であるから、

$$ \vec{OA}\cdot\vec{OM} =\frac{4+2\cos\theta}{2} =2+\cos\theta $$

となる。$0<\theta<\pi$ であるから $\cos\theta>-1$ であり、

$$ 2+\cos\theta>0 $$

である。よって $\cos\alpha>0$ となり、

$$ 0<\alpha<\frac{\pi}{2} $$

である。

したがって、$\sin\alpha\leqq \dfrac{1}{2}$ より、

$$ \alpha\leqq \frac{\pi}{6} $$

である。

また、（2）で $AB=\sqrt{7}$ のときに実際に

$$ \alpha=\frac{\pi}{6} $$

となることが分かっている。したがって、$\alpha$ の最大値は

$$ \frac{\pi}{6} $$

である。

解説

この問題の中心は、$M$ が中点であることを「面積が等しい」と読み替える点にある。三角形 $OAM$ と $OBM$ は底辺 $AM,BM$ が等しく、高さも共通なので、面積が等しい。

その面積を $OM$ を使って表すことで、角 $\alpha,\beta$ の関係式

$$ 2\sin\alpha=\sin\beta $$

が得られる。この式は以後の小問すべてで使う基本式である。

（2）では、$AB=\sqrt{7}$ から余弦定理で $\angle AOB=\alpha+\beta$ を求め、（1）の関係式と連立する。

（3）では、$2\sin\alpha=\sin\beta$ から $\sin\alpha\leqq \dfrac{1}{2}$ を得るだけでは、$\alpha$ が鋭角であることを確認しないと不十分である。そこでベクトルの内積を用いて $\cos\alpha>0$ を示し、$0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}$ の範囲で $\alpha\leqq\dfrac{\pi}{6}$ と結論づける。