数学A 平面図形 問題 23 解説

方針・初手

角の二等分線が対辺を分ける比は、その角をはさむ2辺の長さの比に等しい。したがって、$\angle A$ の二等分線が $BC$ と交わる点を $D$ とすると、角の二等分線定理を用いる。

解法1

$\angle A$ の二等分線が辺 $BC$ と交わる点が $D$ であるから、角の二等分線定理より

$$ BD:DC=AB:AC $$

である。

ここで $AB=4,\ AC=7$ なので、

$$ BD:DC=4:7 $$

となる。

また、$BC=8$ であり、

$$ BD+DC=8 $$

である。比の和は $4+7=11$ だから、$BD$ は $BC$ を $11$ 等分したうちの $4$ 個分である。

したがって、

$$ BD=8\cdot \frac{4}{11}=\frac{32}{11} $$

である。

解説

この問題は角の二等分線定理をそのまま用いる典型問題である。

注意すべき点は、$\angle A$ の二等分線なので、対辺 $BC$ は $AB:AC$ の比に分けられることである。$BD:DC=AB:AC$ であり、$BC$ の両端の順番と対応を取り違えないことが重要である。

答え

$$ BD=\frac{32}{11} $$