数学A 平面図形 問題 27 解説

方針・初手

点 $A,O,C$ は一直線上にあり、$O$ は線分 $AC$ 上にある。したがって、点 $C$ は点 $A(1,2)$ と反対向きの半直線上にあることを使う。

また、四角形 $ABCD$ は円に内接しているので、交わる弦の定理

$$ OA \cdot OC=OB \cdot OD $$

が使える。これに $OA=OD$ を組み合わせるのが初手である。

解法1

点 $A$ の座標は $(1,2)$ であるから、点 $O$ は原点であり、

$$ OA=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5} $$

である。

点 $C$ は直線 $OA$ 上にあり、$x$ 座標が $a$ である。直線 $OA$ の方程式は $y=2x$ だから、

$$ C=(a,2a) $$

である。

さらに、$O$ は線分 $AC$ 上にあるので、点 $C$ は点 $A$ と原点をはさんで反対側にある。したがって

$$ a<0 $$

である。

よって、

$$ OC=\sqrt{a^2+(2a)^2}=\sqrt{5a^2}=\sqrt{5}|a| $$

であり、$a<0$ より

$$ OC=-\sqrt{5}a $$

となる。

次に、四角形 $ABCD$ は円に内接しており、弦 $AC$ と弦 $BD$ は点 $O$ で交わっている。したがって、交わる弦の定理より

$$ OA \cdot OC=OB \cdot OD $$

である。

条件より $OA=OD$ であり、また $OA,OD$ は正の長さであるから、両辺を $OA=OD$ で割って

$$ OC=OB $$

を得る。

ここで

$$ OA=OD=\sqrt{5}, \qquad OB=OC=-\sqrt{5}a $$

である。

次に、面積 $S$ を求める。

対角線 $AC$ と $BD$ は点 $O$ で交わり、そのなす角は $\theta$ である。四角形の面積は、4つの三角形 $AOB,BOC,COD,DOA$ の面積の和である。

それぞれの面積は、2辺とその間の角を用いて求める。

まず、

$$ [DOA]=\frac{1}{2}OD \cdot OA \sin \theta =\frac{1}{2}\cdot \sqrt{5}\cdot \sqrt{5}\sin\theta =\frac{5}{2}\sin\theta $$

である。

また、対頂角より $\angle BOC=\theta$ であり、

$$ [BOC]=\frac{1}{2}OB \cdot OC \sin\theta =\frac{1}{2}(-\sqrt{5}a)(-\sqrt{5}a)\sin\theta =\frac{5a^2}{2}\sin\theta $$

である。

さらに、$\angle AOB$ と $\angle COD$ は $\pi-\theta$ であり、

$$ \sin(\pi-\theta)=\sin\theta $$

だから、

$$ [AOB]=\frac{1}{2}OA \cdot OB \sin\theta =\frac{1}{2}\sqrt{5}(-\sqrt{5}a)\sin\theta =-\frac{5a}{2}\sin\theta $$

である。同様に、

$$ [COD]=-\frac{5a}{2}\sin\theta $$

である。

したがって、

$$ \begin{aligned} S &=[AOB]+[BOC]+[COD]+[DOA] \\ &=-\frac{5a}{2}\sin\theta+\frac{5a^2}{2}\sin\theta-\frac{5a}{2}\sin\theta+\frac{5}{2}\sin\theta \\ &=\frac{5}{2}(a^2-2a+1)\sin\theta \\ &=\frac{5}{2}(1-a)^2\sin\theta \end{aligned} $$

となる。

最後に、$\theta=30^\circ$ のときを考える。このとき

$$ \sin30^\circ=\frac{1}{2} $$

であるから、

$$ S=\frac{5}{2}(1-a)^2\cdot \frac{1}{2} =\frac{5}{4}(1-a)^2 $$

である。

条件 $20 \leqq S \leqq 40$ より、

$$ 20 \leqq \frac{5}{4}(1-a)^2 \leqq 40 $$

である。両辺に $\frac{4}{5}$ をかけて、

$$ 16 \leqq (1-a)^2 \leqq 32 $$

となる。

ここで $a<0$ だから、

$$ 1-a>0 $$

である。よって平方根をとって、

$$ 4 \leqq 1-a \leqq 4\sqrt{2} $$

である。

これを $a$ について解くと、

$$ 1-4\sqrt{2} \leqq a \leqq -3 $$

となる。

したがって、$a$ のとりうる値の最大値は

$$ -3 $$

である。

解説

この問題では、円に内接する四角形の対角線が交わる状況なので、交わる弦の定理を使うことが中心である。

特に、

$$ OA \cdot OC=OB \cdot OD $$

と $OA=OD$ から、すぐに

$$ OB=OC $$

が従う。この結果により、2本の対角線の長さがどちらも

$$ \sqrt{5}(1-a) $$

と表せる。

面積は、4つの三角形に分けてもよいし、対角線の長さとそのなす角を用いて

$$ S=\frac{1}{2}AC \cdot BD \sin\theta $$

と求めてもよい。どちらの方法でも

$$ S=\frac{5}{2}(1-a)^2\sin\theta $$

に到達する。

注意すべき点は、$O$ が線分 $AC$ 上にあるため、点 $C$ は点 $A$ と原点をはさんで反対側にあり、$a<0$ となることである。この条件が、最後に平方根をとる場面で必要になる。

答え

(1)

$$ OC=-\sqrt{5}a $$

また、

$$ OB=OC $$

である。

(2)

$$ S=\frac{5}{2}(1-a)^2\sin\theta $$

(3)

$$ a_{\max}=-3 $$