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数学A 平面図形問題 26 解説

方針・初手

点 $P,Q,R$ の位置を、$\vec{AB},\vec{AC}$ を基準にして表す。 $R$ は辺 $BC$ 上の点なので、$BR:CR$ を $t:1-t$ とおいて、直線 $PQ$ 上にある条件から $t$ を求める。

解法1

$\vec{AB}=\mathbf{b},\ \vec{AC}=\mathbf{c}$ とし、点 $A$ を原点として考える。

点 $P$ は辺 $AB$ を $3:2$ に内分するので、

$$ \vec{AP}=\frac{3}{5}\mathbf{b} $$

である。

点 $Q$ は辺 $AC$ を $5:2$ に外分する。すなわち $AQ:QC=5:2$ で、$Q$ は $C$ の外側にあるから、

$$ \vec{AQ}=\frac{5}{3}\mathbf{c} $$

である。

次に、$R$ が辺 $BC$ 上にあるので、

$$ BR:RC=t:(1-t) $$

とおく。このとき

$$ \vec{AR}=(1-t)\mathbf{b}+t\mathbf{c} $$

である。

また、$R$ は直線 $PQ$ 上にあるから、ある実数 $s$ を用いて

$$ \vec{AR}=(1-s)\vec{AP}+s\vec{AQ} $$

と表せる。これに $\vec{AP}=\frac{3}{5}\mathbf{b},\ \vec{AQ}=\frac{5}{3}\mathbf{c}$ を代入すると、

$$ \begin{aligned} \vec{AR} &= (1-s)\frac{3}{5}\mathbf{b} + s\frac{5}{3}\mathbf{c} \end{aligned} $$

である。

一方で

$$ \vec{AR}=(1-t)\mathbf{b}+t\mathbf{c} $$

でもあるから、$\mathbf{b},\mathbf{c}$ の係数を比較して、

$$ 1-t=\frac{3}{5}(1-s),\qquad t=\frac{5}{3}s $$

を得る。

第2式より

$$ s=\frac{3}{5}t $$

である。これを第1式に代入すると、

$$ 1-t=\frac{3}{5}\left(1-\frac{3}{5}t\right) $$

となる。整理して、

$$ 1-t=\frac{3}{5}-\frac{9}{25}t $$

より、

$$ 25-25t=15-9t $$

したがって、

$$ 10=16t $$

であるから、

$$ t=\frac{5}{8} $$

である。

よって

$$ BR:RC=t:(1-t)=\frac{5}{8}:\frac{3}{8}=5:3 $$

となる。

次に、三角形 $APR$ の面積を求める。先ほどの $t=\frac{5}{8}$ より、

$$ \begin{aligned} \vec{AR} &= \frac{3}{8}\mathbf{b} + \frac{5}{8}\mathbf{c} \end{aligned} $$

である。

また、

$$ \vec{AP}=\frac{3}{5}\mathbf{b} $$

であるから、三角形 $APR$ の面積は、$\mathbf{b}$ と $\mathbf{c}$ がつくる三角形 $ABC$ の面積に対して、

$$ \begin{aligned} \frac{[APR]}{[ABC]} &= \left| \det\left(\frac{3}{5}\mathbf{b},\frac{3}{8}\mathbf{b}+\frac{5}{8}\mathbf{c}\right) \right| \div |\det(\mathbf{b},\mathbf{c})| \end{aligned} $$

である。

$\det(\mathbf{b},\mathbf{b})=0$ だから、

$$ \begin{aligned} \det\left(\frac{3}{5}\mathbf{b},\frac{3}{8}\mathbf{b}+\frac{5}{8}\mathbf{c}\right) &= \frac{3}{5}\cdot\frac{5}{8}\det(\mathbf{b},\mathbf{c}) \\ \frac{3}{8}\det(\mathbf{b},\mathbf{c}) \end{aligned} $$

となる。したがって、

$$ \frac{[APR]}{[ABC]}=\frac{3}{8} $$

である。