数学A 平面図形 問題 34 解説

方針・初手

$AM$ を軸として対称な配置になるので，座標を置くのが最も直接的である。

$BC$ を $x$ 軸上に置き，$M$ を原点とする。$P$ の位置を $AP:PM=1:t$ から求め，直線 $BP$ と $AC$ の交点 $Q$，直線 $CP$ と $AB$ の交点 $R$ を座標で表す。

解法1

$M=(0,0)$ とし，

$$ A=(0,h),\quad B=(-a,0),\quad C=(a,0) $$

とおく。$\triangle ABC$ の面積は $1$ であるから，

$$ \frac{1}{2}\cdot 2a\cdot h=ah=1 $$

である。

$P$ は $AM$ を $AP:PM=1:t$ に内分する点なので，

$$ P=\left(0,\frac{t}{1+t}h\right) $$

である。

まず $Q$ を求める。$Q$ は辺 $AC$ 上の点なので，$AQ:QC=v:(1-v)$ となるように

$$ Q=(0,h)+v(a,-h)=(av,h(1-v)) $$

とおける。このとき

$$ v=\frac{AQ}{AC} $$

である。

一方，$Q$ は直線 $BP$ 上にもある。直線 $BP$ 上の点は

$$ \begin{aligned} (-a,0)+u\left(a,\frac{t}{1+t}h\right) &= (a(u-1),\frac{ut}{1+t}h) \end{aligned} $$

と表せる。

これが $Q=(av,h(1-v))$ と一致するから，$x$ 座標より

$$ v=u-1 $$

すなわち $u=v+1$ である。$y$ 座標を比較すると，

$$ h(1-v)=\frac{(v+1)t}{1+t}h $$

となる。$h>0$ より両辺を $h$ で割って整理すると，

$$ 1-v=\frac{t(v+1)}{1+t} $$

である。したがって，

$$ (1+t)(1-v)=t(v+1) $$

$$ 1+t-(1+t)v=tv+t $$

$$ 1=(1+2t)v $$

より，

$$ v=\frac{1}{1+2t} $$

を得る。

よって

$$ \frac{AQ}{AC}=\frac{1}{1+2t} $$

であるから，

$$ \begin{aligned} \frac{QC}{AQ} &= \frac{AC-AQ}{AQ} \\ \frac{1-\frac{1}{1+2t}}{\frac{1}{1+2t}} \\ 2t \end{aligned} $$

となる。

次に $\triangle MQR$ の面積を求める。対称性より，$R$ は $Q$ と $y$ 座標が等しく，$x$ 座標の符号だけが反対である。したがって，

$$ Q=\left(\frac{a}{1+2t},\frac{2th}{1+2t}\right), \quad R=\left(-\frac{a}{1+2t},\frac{2th}{1+2t}\right) $$

である。

よって $QR$ は水平な線分で，

$$ QR=\frac{2a}{1+2t} $$

である。また，$M$ から直線 $QR$ までの高さは

$$ \frac{2th}{1+2t} $$

である。

したがって，$\triangle MQR$ の面積を $S(t)$ とすると，

$$ \begin{aligned} S(t) &= \frac{1}{2}\cdot \frac{2a}{1+2t}\cdot \frac{2th}{1+2t} \\ \frac{2tah}{(1+2t)^2} \end{aligned} $$

である。$ah=1$ より，

$$ S(t)=\frac{2t}{(1+2t)^2} $$

となる。

これを $t>0$ で最大化する。微分すると，

$$ \begin{aligned} S'(t) &= \frac{2(1-2t)}{(1+2t)^3} \end{aligned} $$

である。

分母は常に正なので，$S'(t)$ の符号は $1-2t$ の符号で決まる。したがって，$S(t)$ は

$$ 0<t<\frac{1}{2} $$

で増加し，

$$ t>\frac{1}{2} $$

で減少する。

よって最大となるのは

$$ t=\frac{1}{2} $$

のときである。このとき，

$$ \begin{aligned} S\left(\frac{1}{2}\right) &= \frac{2\cdot \frac{1}{2}}{(1+2\cdot \frac{1}{2})^2} \\ \frac{1}{4} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題では，正三角形の具体的な辺の長さを求める必要はない。重要なのは，$M$ が $BC$ の中点であり，$AM$ が対称軸になることである。

$Q$ の位置を $AC$ 上の比 $v=AQ/AC$ で表すと，直線 $BP$ 上にある条件から $v$ が一気に決まる。ここで $QC/AQ$ を求めるので，$v$ を求めたあとに比を取り違えないことが重要である。

また，$Q$ と $R$ は対称な位置にあるため，$\triangle MQR$ の面積は「底辺 $QR$」と「原点 $M$ から $QR$ への高さ」で簡単に表せる。面積 $1$ の条件は最後に $ah=1$ として使えばよい。

答え

(1)

$$ \frac{QC}{AQ}=2t $$

(2)

$$ t=\frac{1}{2} $$

のとき，$\triangle MQR$ の面積は最大となり，その最大値は

$$ \frac{1}{4} $$

である。