数学A 平面図形 問題 33 解説

方針・初手

点の位置を $\vec{OA}=\vec a,\ \vec{OB}=\vec b$ を基準にした座標で表す。

三角形 $OAB$ の内部の点 $X$ を

$$ \vec{OX}=x\vec a+y\vec b $$

と表し、これを $X=(x,y)$ と書く。すると面積比は、この $(x,y)$ 座標での行列式の絶対値で求められる。

解法1

$O=(0,0),\ A=(1,0),\ B=(0,1)$ とおく。

$O'$ は辺 $AB$ を $t:(1-t)$ に内分するから、

$$ O'=(1-t,t) $$

である。よって

$$ \overrightarrow{OO'}=(1-t)\vec a+t\vec b $$

である。

同様に、

$$ A'=(0,1-t),\qquad B'=(t,0) $$

となる。

ここで

$$ D=1-t+t^2 $$

とおく。

直線 $AA'$ 上の点は、実数 $u$ を用いて

$$ (x,y)=(1-u,u(1-t)) $$

と表せる。

直線 $BB'$ 上の点は、実数 $v$ を用いて

$$ (x,y)=(vt,1-v) $$

と表せる。

直線 $OO'$ 上の点は、実数 $w$ を用いて

$$ (x,y)=w(1-t,t) $$

と表せる。

まず、$P$ は $AA'$ と $BB'$ の交点であるから、

$$ (1-u,u(1-t))=(vt,1-v) $$

を解けばよい。これより

$$ u=\frac{1-t}{D},\qquad v=\frac{t}{D} $$

となるので、

$$ P=\left(\frac{t^2}{D},\frac{(1-t)^2}{D}\right) $$

である。

次に、$Q$ は $BB'$ と $OO'$ の交点であるから、

$$ (vt,1-v)=w(1-t,t) $$

を解けばよい。これより

$$ w=\frac{t}{D} $$

となるので、

$$ Q=\left(\frac{t(1-t)}{D},\frac{t^2}{D}\right) $$

である。

また、$R$ は $OO'$ と $AA'$ の交点であるから、

$$ w(1-t,t)=(1-u,u(1-t)) $$

を解けばよい。これより

$$ w=\frac{1-t}{D} $$

となるので、

$$ R=\left(\frac{(1-t)^2}{D},\frac{t(1-t)}{D}\right) $$

である。

したがって、$R$ は線分 $OO'$ 上で

$$ \overrightarrow{OR}=\frac{1-t}{D}\overrightarrow{OO'} $$

を満たす。よって

$$ OR:RO'=\frac{1-t}{D}:\left(1-\frac{1-t}{D}\right) $$

である。ここで

$$ 1-\frac{1-t}{D} =\frac{D-(1-t)}{D} =\frac{t^2}{D} $$

だから、

$$ OR:RO'=(1-t):t^2 $$

となる。

最後に、三角形 $PQR$ の面積を求める。

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{PQ} &= \left( \frac{t(1-t)-t^2}{D}, \frac{t^2-(1-t)^2}{D} \right) &= \frac{1-2t}{D}(t,-1) \end{aligned} $$

また、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{PR} &= \left( \frac{(1-t)^2-t^2}{D}, \frac{t(1-t)-(1-t)^2}{D} \right) &= \frac{1-2t}{D}(1,-(1-t)) \end{aligned} $$

である。

したがって、面積比は

$$ \left| \det \begin{pmatrix} \dfrac{1-2t}{D}t & \dfrac{1-2t}{D} \\ -\dfrac{1-2t}{D} & -\dfrac{1-2t}{D}(1-t) \end{pmatrix} \right| $$

であり、

$$ \begin{aligned} \frac{M}{S} &= \left(\frac{1-2t}{D}\right)^2 \left| \det \begin{pmatrix} t & 1 \\ -1 & -(1-t) \end{pmatrix} \right|\\ &= \left(\frac{1-2t}{D}\right)^2 {1-t+t^2}\\ &= \frac{(1-2t)^2}{D} \end{aligned} $$

となる。

ゆえに

$$ M=\frac{(1-2t)^2}{1-t+t^2}S $$

である。

解説

この問題は、三角形の形そのものには依存しない。点の位置が辺の内分比だけで決まるため、$\vec a,\vec b$ を基底とするアフィン座標で処理すればよい。

交点 $P,Q,R$ をそれぞれ直線のパラメータ表示から求めると、すべての座標に共通して $D=1-t+t^2$ が現れる。面積は、座標平面上での行列式の絶対値を用いれば、元の三角形 $OAB$ の面積 $S$ に対する比としてそのまま求まる。

特に、$t=\frac12$ に近づくと $P,Q,R$ が一致して面積が $0$ に近づくことも、得られた式

$$ \frac{(1-2t)^2}{1-t+t^2} $$

から確認できる。

答え

(1)

$$ \overrightarrow{OO'}=(1-t)\vec a+t\vec b $$

(2)

$$ OR:RO'=(1-t):t^2 $$

(3)

$$ M=\frac{(1-2t)^2}{1-t+t^2}S $$