数学A 平面図形 問題 40 解説

方針・初手

（1） は、$AE \perp AD$ と $CD \perp AD$ から $AE \parallel CD$ が分かる。したがって、直角三角形 $ABE$ において角 $\theta$ を使って $AE$ を表せばよい。

（2） は、中心が $C$ の円が直線 $AB,DA$ の両方に接するという条件を、「点 $C$ から各直線への距離が等しい」と読み替える。$\angle ABC=90^\circ,\angle CDA=90^\circ$ より、その距離はそれぞれ $BC,CD$ である。

解法1

(1)

$\angle DAE=90^\circ$ より $AE \perp AD$ である。また、$\angle CDA=90^\circ$ より $CD \perp AD$ である。

したがって、

$$ AE \parallel CD $$

である。

点 $E$ は線分 $BC$ 上にあるので、$EB$ は直線 $BC$ 上にある。よって、$AE \parallel CD$ から

$$ \angle AEB=\angle BCD=\theta $$

である。

また、$\angle ABC=90^\circ$ であり、$E$ は $BC$ 上の点だから、

$$ \angle ABE=90^\circ $$

である。したがって、三角形 $ABE$ は直角三角形であり、斜辺は $AE$ である。

よって、

$$ \sin\theta=\frac{AB}{AE} $$

である。$AB=1$ だから、

$$ \sin\theta=\frac{1}{AE} $$

となり、

$$ AE=\frac{1}{\sin\theta} $$

である。

ここで $45^\circ<\theta<90^\circ$ より、

$$ \sin\theta>\sin45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2} $$

である。したがって、

$$ AE=\frac{1}{\sin\theta}<\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2} $$

となる。

ゆえに、

$$ AE<\sqrt{2} $$

が示された。

(2)

点 $C$ を中心とする円が直線 $AB$ と直線 $DA$ の両方に接するためには、点 $C$ から直線 $AB$ までの距離と、点 $C$ から直線 $DA$ までの距離が等しくなければならない。

$\angle ABC=90^\circ$ より、$CB \perp AB$ であるから、点 $C$ から直線 $AB$ までの距離は $BC$ である。

また、$\angle CDA=90^\circ$ より、$CD \perp DA$ であるから、点 $C$ から直線 $DA$ までの距離は $CD$ である。

したがって、条件より

$$ BC=CD $$

である。

いま $CD=\sqrt{2}$ だから、

$$ BC=\sqrt{2} $$

である。

三角形 $ABC$ は $\angle ABC=90^\circ$ の直角三角形であり、$AB=1,BC=\sqrt{2}$ だから、

$$ AC^2=AB^2+BC^2=1^2+(\sqrt{2})^2=3 $$

より、

$$ AC=\sqrt{3} $$

である。

また、三角形 $ADC$ は $\angle CDA=90^\circ$ の直角三角形であり、$CD=\sqrt{2},AC=\sqrt{3}$ だから、

$$ AD^2=AC^2-CD^2=3-2=1 $$

より、

$$ AD=1 $$

である。

ここで

$$ \alpha=\angle BCA,\qquad \beta=\angle ACD $$

とおく。

三角形 $ABC$ において、

$$ \sin\alpha=\frac{AB}{AC}=\frac{1}{\sqrt{3}},\qquad \cos\alpha=\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} $$

である。

また、三角形 $ADC$ において、

$$ \sin\beta=\frac{AD}{AC}=\frac{1}{\sqrt{3}},\qquad \cos\beta=\frac{CD}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} $$

である。

よって、

$$ \alpha=\beta $$

である。

四角形の頂点の並びより、$\angle BCD$ は $\angle BCA$ と $\angle ACD$ の和であるから、

$$ \theta=\alpha+\beta=2\alpha $$

である。

したがって、

$$ \sin\theta=\sin 2\alpha $$

であり、倍角公式より、

$$ \sin\theta=2\sin\alpha\cos\alpha $$

となる。これに先ほどの値を代入すると、

$$ \begin{aligned} \sin\theta &= 2\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \\ \frac{2\sqrt{2}}{3} \end{aligned} $$

である。

解説

（1） の核心は、$AE \perp AD$ と $CD \perp AD$ から $AE \parallel CD$ を見抜くことである。これにより、四角形の問題が直角三角形 $ABE$ の三角比の問題に落ちる。

（2） では、「中心 $C$ の円が直線に接する」という条件を、点 $C$ から直線への距離で処理する。直角条件により、その距離がそれぞれ $BC,CD$ になるため、円の接線条件は単に $BC=CD$ となる。

その後は、三角形 $ABC$ と三角形 $ADC$ がどちらも直角三角形であることを用いて、共通の斜辺 $AC$ を基準に角を比較すればよい。

答え

(1)

$$ AE<\sqrt{2} $$

(2)

$$ \sin\theta=\frac{2\sqrt{2}}{3} $$