数学A 平面図形 問題 39 解説

方針・初手

点 $B$ から固定線分 $OA$ を見込む角 $\angle OBA$ が一定であるから、円周角の定理を用いる。線分 $OA$ を弦とし、円周角が $60^\circ$ となる円を考えればよい。

解法1

$O(0,0)$、$A(0,2)$ より、線分 $OA$ の長さは

$$ OA=2 $$

である。

点 $B$ が円周上にあり、弦 $OA$ に対する円周角が

$$ \angle OBA=60^\circ $$

であるとき、対応する中心角は

$$ 2\cdot 60^\circ=120^\circ $$

である。

したがって、求める円の半径を $R$ とすると、弦の長さの公式より

$$ OA=2R\sin 60^\circ $$

である。よって

$$ 2=2R\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} $$

より、

$$ R=\frac{2}{\sqrt{3}} $$

となる。

弦 $OA$ の中点を $M$ とすると、

$$ M(0,1) $$

である。円の中心は弦 $OA$ の垂直二等分線上にあるから、直線 $y=1$ 上にある。

中心を $C(a,1)$ とおく。円は $O(0,0)$ を通るので、

$$ CO^2=R^2 $$

より、

$$ a^2+1^2=\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 $$

である。したがって

$$ a^2+1=\frac{4}{3} $$

より、

$$ a^2=\frac{1}{3} $$

となる。よって

$$ a=\pm \frac{1}{\sqrt{3}} $$

である。

ここで、$B$ は $x>0$ の領域にある。中心が

$$ C\left(\frac{1}{\sqrt{3}},1\right) $$

である円では、$x>0$ 側の弧が、弦 $OA$ に対して円周角 $60^\circ$ を与える。

一方、中心が

$$ C\left(-\frac{1}{\sqrt{3}},1\right) $$

である円の $x>0$ 側の弧では、弦 $OA$ に対する円周角は $120^\circ$ となるため、条件を満たさない。

したがって求める軌跡は、中心

$$ \left(\frac{1}{\sqrt{3}},1\right) $$

半径

$$ \frac{2}{\sqrt{3}} $$

の円のうち $x>0$ の部分である。

よって方程式は

$$ \left(x-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2+(y-1)^2=\frac{4}{3} $$

である。

これを展開すると、

$$ x^2+y^2-2y-\frac{2}{\sqrt{3}}x=0 $$

すなわち

$$ \sqrt{3}x^2+\sqrt{3}y^2-2\sqrt{3}y-2x=0 $$

とも表せる。

解法2

点 $B$ を $B(x,y)$ とおく。ただし条件より $x>0$ である。

ベクトルを用いると、

$$ \overrightarrow{BO}=(-x,-y),\qquad \overrightarrow{BA}=(-x,2-y) $$

である。

$\angle OBA=60^\circ$ より、内積の公式から

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{BO}\cdot \overrightarrow{BA} &= |\overrightarrow{BO}||\overrightarrow{BA}|\cos 60^\circ \end{aligned} $$

である。左辺は

$$ \overrightarrow{BO}\cdot \overrightarrow{BA} =x^2-y(2-y) =x^2+y^2-2y $$

である。

また、

$$ |\overrightarrow{BO}|=\sqrt{x^2+y^2},\qquad |\overrightarrow{BA}|=\sqrt{x^2+(y-2)^2} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} x^2+y^2-2y &= \frac{1}{2}\sqrt{x^2+y^2}\sqrt{x^2+(y-2)^2} \end{aligned} $$

となる。

両辺を2倍して平方すると、

$$ \begin{aligned} 4(x^2+y^2-2y)^2 &= (x^2+y^2){x^2+(y-2)^2} \end{aligned} $$

である。整理すると、

$$ \left\{\left(x-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2+(y-1)^2-\frac{4}{3}\right\} \left\{\left(x+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2+(y-1)^2-\frac{4}{3}\right\}=0 $$

となる。

したがって候補となる円は

$$ \left(x-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2+(y-1)^2=\frac{4}{3} $$

または

$$ \left(x+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2+(y-1)^2=\frac{4}{3} $$

である。

ただし、平方によって $\angle OBA=60^\circ$ と $\angle OBA=120^\circ$ の両方が混ざるため、角度を確認する必要がある。

$x>0$ にある点を考えると、条件 $\angle OBA=60^\circ$ を満たすのは中心が

$$ \left(\frac{1}{\sqrt{3}},1\right) $$

の円である。よって求める軌跡は

$$ \left(x-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2+(y-1)^2=\frac{4}{3} \qquad (x>0) $$

である。

解説

固定された線分 $OA$ を一定角 $60^\circ$ で見込む点の軌跡は円弧である。これは円周角の定理の典型的な使い方である。

注意すべき点は、線分 $OA$ の左右に対応する円が2つ現れることである。今回は $B$ が $x>0$ の領域にあるため、右側の円を選ぶ必要がある。

座標計算で進める場合、内積を用いると式は立つが、平方によって余分な候補が出る。したがって最後に角度が $60^\circ$ か $120^\circ$ かを確認することが重要である。

答え

$$ \left(x-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2+(y-1)^2=\frac{4}{3} \qquad (x>0) $$

または、展開して

$$ \sqrt{3}x^2+\sqrt{3}y^2-2\sqrt{3}y-2x=0 \qquad (x>0) $$