数学C 複素数平面 問題 1 解説

方針・初手

複素数の等式は、実部と虚部を比較して連立方程式に直す。ここでは $(x+iy)^2$ を展開し、実部が $0$、虚部が $1$ であることを利用する。

解法1

$x,y$ は実数であるから、

$$ (x+iy)^2=x^2+2ixy+i^2y^2=x^2-y^2+2xyi $$

である。

これが $i$ に等しいので、実部と虚部を比較して

$$ \begin{cases} x^2-y^2=0,\\ 2xy=1 \end{cases} $$

を得る。

まず、

$$ x^2-y^2=0 $$

より、

$$ (x-y)(x+y)=0 $$

である。したがって、$x=y$ または $x=-y$ である。

(i)

$x=y$ のとき

$$ 2xy=1 $$

に代入すると、

$$ 2x^2=1 $$

であるから、

$$ x^2=\frac{1}{2} $$

となる。よって、

$$ x=\pm\frac{1}{\sqrt{2}} $$

であり、$x=y$ より

$$ (x,y)=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right),\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) $$

を得る。

(ii)

$x=-y$ のとき

$$ 2xy=2x(-x)=-2x^2 $$

である。したがって、

$$ -2x^2=1 $$

となるが、左辺は $0$ 以下であるため、実数 $x$ に対して成り立たない。

以上より、求める組は

$$ (x,y)=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right),\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) $$

である。

解法2

$i$ を極形式で表すと、

$$ i=\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2} $$

である。

$(x+iy)^2=i$ であるから、$x+iy$ は $i$ の平方根である。したがって、

$$ x+iy=\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4} $$

または

$$ x+iy=\cos\left(\frac{\pi}{4}+\pi\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{4}+\pi\right) $$

である。

よって、

$$ x+iy=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i $$

または

$$ x+iy=-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i $$

である。

したがって、

$$ (x,y)=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right),\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) $$

である。

解説

複素数の等式では、実部と虚部を比較するのが基本である。特に $x,y$ が実数と指定されているため、$x^2-y^2$ と $2xy$ はそれぞれ実数として扱える。

この問題では、$x^2-y^2=0$ から $x=\pm y$ に分ける必要がある。$x=-y$ の場合は $2xy$ が正にならないため不適となる点を落とさないことが重要である。

答え

$$ (x,y)=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right),\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) $$