数学C 複素数平面 問題 2 解説

方針・初手

点 $\alpha+\dfrac{1}{\alpha}$ と実軸との距離は、その複素数の虚部の絶対値である。

したがって、まず $\alpha+\dfrac{1}{\alpha}$ の虚部を $r,\theta$ で表し、任意の $\theta$ に対してその絶対値が $2$ 以下となる条件を調べる。

解法1

$\alpha=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ であり、$r>0$ だから、

$$ \begin{aligned} \frac{1}{\alpha} &= \frac{1}{r(\cos\theta+i\sin\theta)}\\ &= \frac{1}{r}(\cos\theta-i\sin\theta) \end{aligned} $$

である。

よって、

$$ \alpha+\frac{1}{\alpha} = r(\cos\theta+i\sin\theta) + \frac{1}{r}(\cos\theta-i\sin\theta) $$

となる。実部と虚部を分けると、

$$ \alpha+\frac{1}{\alpha} = \left(r+\frac{1}{r}\right)\cos\theta + i\left(r-\frac{1}{r}\right)\sin\theta $$

である。

したがって、点 $\alpha+\dfrac{1}{\alpha}$ と実軸との距離は虚部の絶対値だから、

$$ \left| \left(r-\frac{1}{r}\right)\sin\theta \right| = \left|r-\frac{1}{r}\right||\sin\theta| $$

である。

これが任意の $\theta$ に対して $2$ 以下であるための条件を考える。$\theta$ は任意であり、$|\sin\theta|$ の最大値は $1$ であるから、必要十分条件は

$$ \left|r-\frac{1}{r}\right|\leqq 2 $$

である。

これを解く。

$$ -2\leqq r-\frac{1}{r}\leqq 2 $$

であり、$r>0$ なので各不等式に $r$ をかけてよい。

まず、

$$ r-\frac{1}{r}\leqq 2 $$

より、

$$ r^2-1\leqq 2r $$

すなわち、

$$ r^2-2r-1\leqq 0 $$

である。これを解くと、

$$ 1-\sqrt{2}\leqq r\leqq 1+\sqrt{2} $$

となる。$r>0$ だから、この条件は

$$ 0<r\leqq 1+\sqrt{2} $$

である。

次に、

$$ -2\leqq r-\frac{1}{r} $$

より、

$$ -2r\leqq r^2-1 $$

すなわち、

$$ r^2+2r-1\geqq 0 $$

である。これを解くと、

$$ r\leqq -1-\sqrt{2} \quad\text{または}\quad r\geqq -1+\sqrt{2} $$

である。$r>0$ だから、

$$ r\geqq \sqrt{2}-1 $$

となる。

以上より、両方の条件を合わせて、

$$ \sqrt{2}-1\leqq r\leqq \sqrt{2}+1 $$

である。

解説

この問題では、複素数平面での「実軸との距離」が虚部の絶対値であることに気づくのが出発点である。

$\alpha$ と $\dfrac{1}{\alpha}$ は偏角の符号が反対になるので、和をとると虚部は

$$ \left(r-\frac{1}{r}\right)\sin\theta $$

となる。ここで $\theta$ が任意であるため、$|\sin\theta|$ の最大値 $1$ を使って条件を

$$ \left|r-\frac{1}{r}\right|\leqq 2 $$

に帰着させる。

あとは $r>0$ に注意して不等式を解けばよい。特に、$\dfrac{1}{r}$ を含む不等式では、$r>0$ だから不等号の向きを変えずに $r$ をかけられる。

答え

$$ \boxed{\sqrt{2}-1\leqq r\leqq \sqrt{2}+1} $$