数学C 複素数平面 問題 8 解説

方針・初手

基本対称式 $s,t,u$ で表すには、まず積を直接展開し、$s=\alpha+\beta+\gamma$ と $t=\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha$ の積 $st$ と比較する。

また、$|\alpha|=|\beta|=|\gamma|=1$ のときは、各複素数が $0$ でないので

$$ \overline{\alpha}=\frac{1}{\alpha},\quad \overline{\beta}=\frac{1}{\beta},\quad \overline{\gamma}=\frac{1}{\gamma} $$

を使うのが初手である。

解法1

(1)

まず

$$ (\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha) $$

を展開する。

はじめに

$$ (\alpha+\beta)(\beta+\gamma) = \alpha\beta+\alpha\gamma+\beta^2+\beta\gamma $$

であるから、

$$ \begin{aligned} (\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha) &=(\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta^2+\beta\gamma)(\gamma+\alpha)\\ &=\alpha\beta\gamma+\alpha^2\beta+\alpha\gamma^2+\alpha^2\gamma+\beta^2\gamma+\alpha\beta^2+\beta\gamma^2+\alpha\beta\gamma\\ &=\alpha^2\beta+\alpha\beta^2+\beta^2\gamma+\beta\gamma^2+\gamma^2\alpha+\gamma\alpha^2+2\alpha\beta\gamma. \end{aligned} $$

一方、

$$ \begin{aligned} st &=(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)\\ &=\alpha^2\beta+\alpha\beta^2+\beta^2\gamma+\beta\gamma^2+\gamma^2\alpha+\gamma\alpha^2+3\alpha\beta\gamma. \end{aligned} $$

したがって、

$$ (\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha)=st-u $$

である。

(2)(i)

$|\alpha|=|\beta|=|\gamma|=1$ より、$\alpha,\beta,\gamma$ はいずれも $0$ でなく、

$$ \overline{\alpha}=\frac{1}{\alpha},\quad \overline{\beta}=\frac{1}{\beta},\quad \overline{\gamma}=\frac{1}{\gamma} $$

が成り立つ。

まず、$\overline{s}$ について、

$$ \begin{aligned} \overline{s} &=\overline{\alpha+\beta+\gamma}\\ &=\overline{\alpha}+\overline{\beta}+\overline{\gamma}\\ &=\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}\\ &=\frac{\beta\gamma+\gamma\alpha+\alpha\beta}{\alpha\beta\gamma}\\ &=\frac{t}{u}. \end{aligned} $$

次に、$\overline{t}$ について、

$$ \begin{aligned} \overline{t} &=\overline{\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha}\\ &=\overline{\alpha\beta}+\overline{\beta\gamma}+\overline{\gamma\alpha}\\ &=\overline{\alpha},\overline{\beta}+\overline{\beta},\overline{\gamma}+\overline{\gamma},\overline{\alpha}\\ &=\frac{1}{\alpha\beta}+\frac{1}{\beta\gamma}+\frac{1}{\gamma\alpha}\\ &=\frac{\gamma+\alpha+\beta}{\alpha\beta\gamma}\\ &=\frac{s}{u}. \end{aligned} $$

最後に、$\overline{u}$ について、

$$ \begin{aligned} \overline{u} &=\overline{\alpha\beta\gamma}\\ &=\overline{\alpha},\overline{\beta},\overline{\gamma}\\ &=\frac{1}{\alpha}\cdot\frac{1}{\beta}\cdot\frac{1}{\gamma}\\ &=\frac{1}{u}. \end{aligned} $$

よって、

$$ \overline{s}=\frac{t}{u},\quad \overline{t}=\frac{s}{u},\quad \overline{u}=\frac{1}{u} $$

が示された。

(2)(ii)

複素数 $z$ に対して $|z|^2=z\overline{z}$ が成り立つ。

(2)(i)より、

$$ \overline{s}=\frac{t}{u},\quad \overline{t}=\frac{s}{u} $$

であるから、

$$ |s|^2=s\overline{s}=s\cdot\frac{t}{u}=\frac{st}{u} $$

であり、

$$ |t|^2=t\overline{t}=t\cdot\frac{s}{u}=\frac{st}{u} $$

である。

したがって、

$$ |s|^2=|t|^2 $$

が成り立つ。両辺はともに $0$ 以上の実数であるから、

$$ |s|=|t| $$

である。

(2)(iii)

(1)より、

$$ (\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha)=st-u $$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} \frac{(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha)}{u} &= \frac{st-u}{u}\\ &= \frac{st}{u}-1 \end{aligned} $$

となる。

一方、(2)(ii)の途中で示したように、

$$ \frac{st}{u}=|s|^2 $$

である。よって、

$$ \frac{(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha)}{u} = |s|^2-1 $$

となる。

$|s|^2$ は実数であるから、$|s|^2-1$ も実数である。したがって、

$$ \frac{(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha)}{u} $$

は実数である。

解説

この問題の中心は、$\alpha,\beta,\gamma$ の基本対称式 $s,t,u$ を使う処理である。

(1)では、積を展開して $st$ と比較すると、余分に現れる $\alpha\beta\gamma$ の個数の差から $st-u$ が得られる。

(2)では、$|\alpha|=|\beta|=|\gamma|=1$ から $\overline{\alpha}=1/\alpha$ とできる点が重要である。これにより、共役をとった式を $s,t,u$ で表せる。

特に、$\overline{s}=t/u$ と $\overline{t}=s/u$ から

$$ |s|^2=s\overline{s}=\frac{st}{u},\quad |t|^2=t\overline{t}=\frac{st}{u} $$

となるため、$|s|=|t|$ が自然に従う。

最後の実数性は、(1)の結果を $u$ で割って

$$ \frac{st}{u}-1 $$

に直し、さらに $\frac{st}{u}=|s|^2$ と見ることで示せる。

答え

(1)

$$ (\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha)=st-u $$

(2)

(i)

$$ \overline{s}=\frac{t}{u},\quad \overline{t}=\frac{s}{u},\quad \overline{u}=\frac{1}{u} $$

(2)

(ii)

$$ |s|=|t| $$

(2)

(iii)

$$ \frac{(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha)}{u} $$

は実数である。