数学C 複素数平面 問題 9 解説

方針・初手

極形式では、共役は偏角を符号反転し、$-1$ の乗法は偏角に $\pi$ を加える操作に対応する。また、逆数や累乗は絶対値と偏角をそれぞれ累乗・符号反転して処理する。

ただし、偏角は $0 \leqq \phi < 2\pi$ の範囲に直す必要がある。また、(3) では $\theta=0$ のとき値が $0$ になり、通常の意味では偏角が定まらない点に注意する。

解法1

(1)

共役複素数は

$$ \overline{z}=r(\cos\theta-i\sin\theta) $$

であるから、

$$ -\overline{z} =r(-\cos\theta+i\sin\theta) $$

となる。

ここで

$$ -\cos\theta=\cos(\pi-\theta),\qquad \sin\theta=\sin(\pi-\theta) $$

より、形式的には偏角は $\pi-\theta$ である。

ただし、偏角を $0 \leqq \phi <2\pi$ に収める必要がある。

$0\leqq\theta\leqq\pi$ のときは $0\leqq\pi-\theta\leqq\pi$ なので、そのまま用いればよい。一方、$\pi<\theta<2\pi$ のときは $\pi-\theta<0$ となるので、$2\pi$ を加えて $3\pi-\theta$ とする。

したがって、

$$ -\overline{z} = \begin{cases} r{\cos(\pi-\theta)+i\sin(\pi-\theta)} & (0\leqq\theta\leqq\pi),\\ r{\cos(3\pi-\theta)+i\sin(3\pi-\theta)} & (\pi<\theta<2\pi) \end{cases} $$

である。

(2)

まずド・モアブルの定理より、

$$ z^2=r^2(\cos2\theta+i\sin2\theta) $$

である。したがって、

$$ \frac{1}{z^2} =\frac{1}{r^2}{\cos(-2\theta)+i\sin(-2\theta)} $$

となる。

偏角は $-2\theta$ と合同な角を $0 \leqq \phi<2\pi$ の範囲から選べばよい。

$\theta=0,\pi$ のときは $-2\theta$ が $2\pi$ の整数倍であるから、偏角は $0$ である。

$0<\theta<\pi$ のときは $-2\theta$ に $2\pi$ を加えて、偏角は $2\pi-2\theta$ となる。

$\pi<\theta<2\pi$ のときは $-2\theta$ に $4\pi$ を加えて、偏角は $4\pi-2\theta$ となる。

よって、

$$ \frac{1}{z^2} = \begin{cases} \dfrac{1}{r^2}(\cos0+i\sin0) & (\theta=0,\pi),\\ \dfrac{1}{r^2}{\cos(2\pi-2\theta)+i\sin(2\pi-2\theta)} & (0<\theta<\pi),\\ \dfrac{1}{r^2}{\cos(4\pi-2\theta)+i\sin(4\pi-2\theta)} & (\pi<\theta<2\pi) \end{cases} $$

である。

(3)

$|z|=r$ であるから、

$$ z-|z| =r(\cos\theta+i\sin\theta)-r =r{(\cos\theta-1)+i\sin\theta} $$

である。

半角の公式を用いると、

$$ \cos\theta-1=-2\sin^2\frac{\theta}{2},\qquad \sin\theta=2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2} $$

であるから、

$$ z-|z| =2r\sin\frac{\theta}{2}\left(-\sin\frac{\theta}{2}+i\cos\frac{\theta}{2}\right) $$

となる。

また、

$$ -\sin\frac{\theta}{2} = \cos\left(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{2}\right), \qquad \cos\frac{\theta}{2} = \sin\left(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{2}\right) $$

より、

$$ -\sin\frac{\theta}{2}+i\cos\frac{\theta}{2} = \cos\left(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{2}\right) +i\sin\left(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{2}\right) $$

である。

ここで $0\leqq\theta<2\pi$ より $\sin\dfrac{\theta}{2}\geqq0$ である。特に $0<\theta<2\pi$ なら $\sin\dfrac{\theta}{2}>0$ なので、絶対値は $2r\sin\dfrac{\theta}{2}$ となる。

したがって、$0<\theta<2\pi$ のとき、

$$ z-|z| = 2r\sin\frac{\theta}{2} \left\{ \cos\left(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{2}\right) +i\sin\left(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{2}\right) \right\} $$

である。

一方、$\theta=0$ のときは

$$ z-|z|=r-r=0 $$

となり、通常の極形式では偏角が定まらない。

解説

この問題では、極形式における基本操作を偏角の変化として捉えることが重要である。共役は偏角の符号反転、$-1$ 倍は偏角に $\pi$ を加える操作である。

また、$\dfrac{1}{z^2}$ では偏角が $-2\theta$ になるが、そのままでは $0\leqq\phi<2\pi$ に入らない場合がある。そのため、$2\pi$ の整数倍を加えて範囲内に直す必要がある。

(3)

は $z-|z|$ が常に非零とは限らない点が落とし穴である。特に $\theta=0$ のとき、$z$ は正の実数なので $z-|z|=0$ となる。したがって、この場合は通常の意味での偏角は定まらない。

答え

(1)

$$ -\overline{z} = \begin{cases} r{\cos(\pi-\theta)+i\sin(\pi-\theta)} & (0\leqq\theta\leqq\pi),\\ r{\cos(3\pi-\theta)+i\sin(3\pi-\theta)} & (\pi<\theta<2\pi) \end{cases} $$

(2)

$$ \frac{1}{z^2} = \begin{cases} \dfrac{1}{r^2}(\cos0+i\sin0) & (\theta=0,\pi),\\ \dfrac{1}{r^2}{\cos(2\pi-2\theta)+i\sin(2\pi-2\theta)} & (0<\theta<\pi),\\ \dfrac{1}{r^2}{\cos(4\pi-2\theta)+i\sin(4\pi-2\theta)} & (\pi<\theta<2\pi) \end{cases} $$

(3)

$\theta=0$ のとき、

$$ z-|z|=0 $$

であり、通常の極形式では偏角は定まらない。

$0<\theta<2\pi$ のとき、

$$ z-|z| = 2r\sin\frac{\theta}{2} \left\{ \cos\left(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{2}\right) +i\sin\left(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{2}\right) \right\} $$