数学C 複素数平面 問題 13 解説

方針・初手

絶対値の最大・最小は、二乗して扱うとよい。$|z|=2$ より $z\neq 0$ であるから、$\dfrac{i}{z}$ は常に定義される。

$z=2(\cos\theta+i\sin\theta)$ とおき、$\left|z-\dfrac{i}{z}\right|^2$ を $\theta$ の式に直す。

解法1

$|z|=2$ より、

$$ z=2(\cos\theta+i\sin\theta) $$

とおける。このとき

$$ \frac{1}{z} =\frac{1}{2}(\cos\theta-i\sin\theta) $$

であるから、

$$ \frac{i}{z} =\frac{1}{2}(i\cos\theta+\sin\theta) =\frac{1}{2}(\sin\theta+i\cos\theta) $$

となる。

したがって

$$ z-\frac{i}{z} = \left(2\cos\theta-\frac{1}{2}\sin\theta\right) +i\left(2\sin\theta-\frac{1}{2}\cos\theta\right) $$

である。よって、その絶対値の二乗は

$$ \begin{aligned} \left|z-\frac{i}{z}\right|^2 &= \left(2\cos\theta-\frac{1}{2}\sin\theta\right)^2 + \left(2\sin\theta-\frac{1}{2}\cos\theta\right)^2 \\ &= 4\cos^2\theta-2\sin\theta\cos\theta+\frac{1}{4}\sin^2\theta +4\sin^2\theta-2\sin\theta\cos\theta+\frac{1}{4}\cos^2\theta \\ &= \frac{17}{4}(\sin^2\theta+\cos^2\theta)-4\sin\theta\cos\theta \\ &= \frac{17}{4}-2\sin 2\theta. \end{aligned} $$

ここで

$$ -1\leq \sin 2\theta\leq 1 $$

であるから、

$$ \frac{17}{4}-2 \leq \left|z-\frac{i}{z}\right|^2 \leq \frac{17}{4}+2 $$

すなわち

$$ \frac{9}{4} \leq \left|z-\frac{i}{z}\right|^2 \leq \frac{25}{4} $$

である。

絶対値は $0$ 以上なので、平方根をとって

$$ \frac{3}{2} \leq \left|z-\frac{i}{z}\right| \leq \frac{5}{2} $$

となる。

また、$\sin 2\theta=1$ や $\sin 2\theta=-1$ となる $\theta$ は存在するため、これらの値は実際にとれる。

したがって、最大値は $\dfrac{5}{2}$、最小値は $\dfrac{3}{2}$ である。

解説

この問題の中心は、$z$ が複素平面上の半径 $2$ の円周上を動くことを利用する点である。

$\left|z-\dfrac{i}{z}\right|$ を直接扱うより、二乗して実部・虚部に分けると、三角関数の最大・最小の問題に帰着する。

特に、$|z|=2$ なので $z$ は $0$ にはならず、$\dfrac{i}{z}$ の定義に問題はない。この確認を落とさないことが重要である。

答え

最大値は

$$ \frac{5}{2} $$

最小値は

$$ \frac{3}{2} $$