数学C 複素数平面 問題 12 解説

方針・初手

3つの解が正三角形の頂点であることから、まず3つの解の重心を考える。

3次方程式の解を $\alpha,\beta,\gamma$ とすると、解と係数の関係より

$$ \alpha+\beta+\gamma=-3a $$

である。したがって、3点の重心は

$$ \frac{\alpha+\beta+\gamma}{3}=-a $$

である。

一辺の長さが $\sqrt{3}a$ の正三角形の外接円半径は

$$ \frac{\sqrt{3}a}{\sqrt{3}}=a $$

であるから、3つの解は中心 $-a$、半径 $a$ の円周上にあり、偏角が $120^\circ$ ずつずれた形で表せる。

解法1

$\omega$ を $1$ の虚立方根の1つとして

$$ \omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} $$

とおく。このとき、3つの解はある複素数 $u$ で $|u|=1$ を満たすものを用いて

$$ -a+au,\quad -a+au\omega,\quad -a+au\omega^2 $$

と表せる。

したがって、これらを解にもつ3次方程式は

$$ {z-(-a+au)}{z-(-a+au\omega)}{z-(-a+au\omega^2)}=0 $$

である。これは

$$ (z+a-au)(z+a-au\omega)(z+a-au\omega^2)=0 $$

であり、$1,\omega,\omega^2$ は $X^3-1=0$ の解であるから

$$ (z+a)^3-a^3u^3=0 $$

となる。

これを展開すると

$$ z^3+3az^2+3a^2z+a^3(1-u^3)=0 $$

である。

一方、与えられた方程式は

$$ z^3+3az^2+bz+1=0 $$

であるから、係数を比較して

$$ b=3a^2 $$

かつ

$$ a^3(1-u^3)=1 $$

を得る。よって

$$ u^3=1-\frac{1}{a^3} $$

である。

ここで $|u|=1$ だから $|u^3|=1$ である。したがって

$$ \left|1-\frac{1}{a^3}\right|=1 $$

が必要である。

$a>0$ より $\frac{1}{a^3}>0$ である。$x=\frac{1}{a^3}$ とおくと、

$$ |1-x|=1 $$

であるから

$$ 1-x=1 \quad \text{または} \quad 1-x=-1 $$

である。

前者は $x=0$ となり、$x=\frac{1}{a^3}>0$ に反する。したがって

$$ x=2 $$

であり、

$$ \frac{1}{a^3}=2 $$

となる。よって

$$ a^3=\frac{1}{2} $$

であるから

$$ a=\frac{1}{\sqrt[3]{2}} $$

である。

また、

$$ b=3a^2 $$

より

$$ b=\frac{3}{\sqrt[3]{4}} $$

である。

さらに

$$ u^3=1-\frac{1}{a^3}=1-2=-1 $$

である。よって $u$ は $-1$ の立方根であり、その集合は

$$ -1,\quad \frac{1+\sqrt{3}i}{2},\quad \frac{1-\sqrt{3}i}{2} $$

である。

したがって、3つの解は

$$ -a+a(-1),\quad -a+a\frac{1+\sqrt{3}i}{2},\quad -a+a\frac{1-\sqrt{3}i}{2} $$

である。これを整理すると

$$ -2a,\quad -\frac{a}{2}+\frac{\sqrt{3}a}{2}i,\quad -\frac{a}{2}-\frac{\sqrt{3}a}{2}i $$

である。

$a=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ を代入して、3つの解は

$$ -\sqrt[3]{4},\quad -\frac{1}{2\sqrt[3]{2}}+\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt[3]{2}}i,\quad -\frac{1}{2\sqrt[3]{2}}-\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt[3]{2}}i $$

である。

解説

この問題の要点は、3つの解を直接求めようとするのではなく、正三角形の重心と半径から解の形を先に決めることである。

解と係数の関係から、3つの解の重心が $-a$ と分かる。一方、一辺が $\sqrt{3}a$ の正三角形では、重心から各頂点までの距離は $a$ である。したがって、3つの解は中心 $-a$、半径 $a$ の円周上で $120^\circ$ ずつ離れた点になる。

この形を

$$ -a+au,\quad -a+au\omega,\quad -a+au\omega^2 $$

と置くと、方程式全体が

$$ (z+a)^3-a^3u^3=0 $$

にまとまる。あとは係数比較と $|u|=1$ の条件から $a,b$ が一意に決まる。

答え

$$ a=\frac{1}{\sqrt[3]{2}},\qquad b=\frac{3}{\sqrt[3]{4}} $$

3つの解は

$$ -\sqrt[3]{4},\quad -\frac{1}{2\sqrt[3]{2}}+\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt[3]{2}}i,\quad -\frac{1}{2\sqrt[3]{2}}-\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt[3]{2}}i $$

である。