数学C 複素数平面 問題 19 解説

方針・初手

実係数方程式なので、実数でない根は互いに共役である。したがって、他の2根を

$$ \alpha=x+yi,\quad \beta=x-yi \quad (y>0) $$

とおく。

また、正六角形の面積から辺の長さを求め、正六角形の頂点間距離が $2,\ 2\sqrt{3},\ 4$ のいずれかであることを利用する。

解法1

正六角形の1辺の長さを $s$ とすると、その面積は

$$ \frac{3\sqrt{3}}{2}s^2 $$

である。これが $6\sqrt{3}$ に等しいから、

$$ \frac{3\sqrt{3}}{2}s^2=6\sqrt{3} $$

より

$$ s^2=4 $$

である。したがって、正六角形の1辺の長さは

$$ s=2 $$

である。

正六角形の異なる2頂点間の距離は、隣り合う頂点なら $2$、1つ頂点を飛ばした頂点なら $2\sqrt{3}$、向かい合う頂点なら $4$ である。

実係数方程式

$$ x^3+ax^2+bx+c=0 $$

の1つの根が $1$ であり、他の2根が $\alpha,\beta$ である。$\alpha,\beta$ は実数でないので、実係数方程式の虚数解の性質より

$$ \beta=\overline{\alpha} $$

である。よって

$$ \alpha=x+yi,\quad \beta=x-yi \quad (y>0) $$

とおける。

このとき

$$ |\alpha-\beta|=2y $$

である。また、$1$ は実数なので

$$ |1-\alpha|=|1-\beta| $$

が成り立つ。

したがって、正六角形の3頂点 $1,\alpha,\beta$ は、点 $1$ から $\alpha,\beta$ までの距離が等しいように選ばれている。正六角形の頂点の組でこの条件を満たす場合は、距離の組が

$$ (2,2,2\sqrt{3}) $$

または

$$ (2\sqrt{3},2\sqrt{3},2\sqrt{3}) $$

となる場合である。

(i)

$|1-\alpha|=|1-\beta|=2$ の場合

このとき、$\alpha,\beta$ は点 $1$ に隣り合う2頂点であり、

$$ |\alpha-\beta|=2\sqrt{3} $$

である。よって

$$ 2y=2\sqrt{3} $$

より

$$ y=\sqrt{3} $$

である。

また、

$$ |1-\alpha|^2=(x-1)^2+y^2 $$

であるから、

$$ (x-1)^2+(\sqrt{3})^2=2^2 $$

となる。したがって

$$ (x-1)^2+3=4 $$

より

$$ (x-1)^2=1 $$

である。よって

$$ x=0,\ 2 $$

である。

したがって、

$$ {\alpha,\beta}={i\sqrt{3},-i\sqrt{3}} $$

または

$$ {\alpha,\beta}={2+i\sqrt{3},2-i\sqrt{3}} $$

である。

まず

$$ {\alpha,\beta}={i\sqrt{3},-i\sqrt{3}} $$

のとき、

$$ (x-1)(x-i\sqrt{3})(x+i\sqrt{3}) =(x-1)(x^2+3) $$

である。したがって

$$ (x-1)(x^2+3)=x^3-x^2+3x-3 $$

より

$$ (a,b,c)=(-1,3,-3) $$

である。

次に

$$ {\alpha,\beta}={2+i\sqrt{3},2-i\sqrt{3}} $$

のとき、

$$ (x-\alpha)(x-\beta) =(x-2)^2+3 =x^2-4x+7 $$

である。したがって

$$ (x-1)(x^2-4x+7)=x^3-5x^2+11x-7 $$

より

$$ (a,b,c)=(-5,11,-7) $$

である。

(ii)

$|1-\alpha|=|1-\beta|=2\sqrt{3}$ の場合

このとき、$1,\alpha,\beta$ は正六角形の1つおきの3頂点であり、

$$ |\alpha-\beta|=2\sqrt{3} $$

である。よって

$$ 2y=2\sqrt{3} $$

より

$$ y=\sqrt{3} $$

である。

また、

$$ |1-\alpha|^2=(x-1)^2+y^2 $$

であるから、

$$ (x-1)^2+(\sqrt{3})^2=(2\sqrt{3})^2 $$

となる。したがって

$$ (x-1)^2+3=12 $$

より

$$ (x-1)^2=9 $$

である。よって

$$ x=-2,\ 4 $$

である。

したがって、

$$ {\alpha,\beta}={-2+i\sqrt{3},-2-i\sqrt{3}} $$

または

$$ {\alpha,\beta}={4+i\sqrt{3},4-i\sqrt{3}} $$

である。

まず

$$ {\alpha,\beta}={-2+i\sqrt{3},-2-i\sqrt{3}} $$

のとき、

$$ (x-\alpha)(x-\beta) =(x+2)^2+3 =x^2+4x+7 $$

である。したがって

$$ (x-1)(x^2+4x+7)=x^3+3x^2+3x-7 $$

より

$$ (a,b,c)=(3,3,-7) $$

である。

次に

$$ {\alpha,\beta}={4+i\sqrt{3},4-i\sqrt{3}} $$

のとき、

$$ (x-\alpha)(x-\beta) =(x-4)^2+3 =x^2-8x+19 $$

である。したがって

$$ (x-1)(x^2-8x+19)=x^3-9x^2+27x-19 $$

より

$$ (a,b,c)=(-9,27,-19) $$

である。

解説

この問題では、実係数方程式の虚数解が共役な組になることから、$\alpha,\beta$ を $x\pm yi$ とおくのが出発点である。

正六角形の面積から辺の長さが $2$ と分かるので、頂点間距離は $2,\ 2\sqrt{3},\ 4$ に限られる。さらに、$1$ が実軸上にあり、$\alpha,\beta$ が共役であるため、$|1-\alpha|=|1-\beta|$ が成り立つ。この等距離条件によって、考えるべき配置は

$$ |1-\alpha|=2 $$

または

$$ |1-\alpha|=2\sqrt{3} $$

の場合に絞られる。

最後は、3つの根が $1,\alpha,\beta$ であることから

$$ (x-1)(x-\alpha)(x-\beta) $$

を展開すれば、$a,b,c$ が求まる。

答え

$$ (a,b,c)=(-1,3,-3),\ (-5,11,-7),\ (3,3,-7),\ (-9,27,-19) $$