数学C 複素数平面 問題 18 解説

方針・初手

条件に現れる比

$$ \frac{z-\beta}{z-\alpha} $$

は、$z$ から $\alpha,\beta$ への距離の比と偏角を同時に表している。

偏角が $-\dfrac{\pi}{2}$ であることから、この比は負の虚軸上にある。そこで

$$ \frac{z-\beta}{z-\alpha}=-ri $$

とおく。ただし

$$ \frac{1}{2}\leq r\leq 3 $$

である。

解法1

$$ \frac{z-\beta}{z-\alpha}=-ri $$

より、

$$ z-\beta=-ri(z-\alpha) $$

である。

ここで

$$ d=|\beta-\alpha| $$

とおく。$\alpha\neq\beta$ より $d>0$ である。

上の式を変形すると、

$$ z-\beta=-ri(z-\alpha) $$

だから、絶対値をとって

$$ |z-\beta|=r|z-\alpha| $$

となる。

また、

$$ z-\beta=(z-\alpha)-(\beta-\alpha) $$

であるから、

$$ (z-\alpha)-(\beta-\alpha)=-ri(z-\alpha) $$

となる。したがって

$$ (1+ri)(z-\alpha)=\beta-\alpha $$

である。

よって

$$ |1+ri||z-\alpha|=|\beta-\alpha| $$

となり、

$$ \sqrt{1+r^2}|z-\alpha|=d $$

である。したがって

$$ |z-\alpha|=\frac{d}{\sqrt{1+r^2}} $$

であり、

$$ |z-\beta|=r|z-\alpha|=\frac{rd}{\sqrt{1+r^2}} $$

となる。

よって、求める量を $S$ とすると、

$$ S=|z-\alpha|+|z-\beta| =\frac{(1+r)d}{\sqrt{1+r^2}} $$

である。ただし

$$ \frac{1}{2}\leq r\leq 3 $$

である。

ここで

$$ f(r)=\frac{1+r}{\sqrt{1+r^2}} $$

とおく。$r>0$ において微分すると、

$$ \begin{aligned} f'(r) &=\frac{1}{\sqrt{1+r^2}}-(1+r)\frac{r}{(1+r^2)^{3/2}}\\ &=\frac{1+r^2-r-r^2}{(1+r^2)^{3/2}}\\ &=\frac{1-r}{(1+r^2)^{3/2}} \end{aligned} $$

である。

したがって、$f(r)$ は $0<r<1$ で増加し、$r>1$ で減少する。区間

$$ \frac{1}{2}\leq r\leq 3 $$

では、最大値は $r=1$ のときである。

$$ f(1)=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2} $$

また、最小値は端点 $r=\dfrac{1}{2},3$ の値を比較すればよい。

$$ f\left(\frac{1}{2}\right) =\frac{1+\frac{1}{2}}{\sqrt{1+\frac{1}{4}}} =\frac{\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{2}} =\frac{3}{\sqrt{5}} $$

$$ f(3)=\frac{4}{\sqrt{10}} $$

ここで

$$ \left(\frac{3}{\sqrt{5}}\right)^2=\frac{9}{5},\qquad \left(\frac{4}{\sqrt{10}}\right)^2=\frac{8}{5} $$

より、

$$ \frac{4}{\sqrt{10}}<\frac{3}{\sqrt{5}} $$

である。

したがって、$S$ の取り得る値の範囲は

$$ \frac{4}{\sqrt{10}}d\leq S\leq \sqrt{2}d $$

すなわち

$$ \frac{4}{\sqrt{10}}|\beta-\alpha| \leq |z-\alpha|+|z-\beta| \leq \sqrt{2}|\beta-\alpha| $$

である。

次に、最小値をとる $z$ を求める。

最小値は $r=3$ のときにのみ得られる。したがって

$$ \frac{z-\beta}{z-\alpha}=-3i $$

である。

これを解くと、

$$ z-\beta=-3i(z-\alpha) $$

より、

$$ z+3iz=\beta+3i\alpha $$

である。したがって

$$ (1+3i)z=\beta+3i\alpha $$

となるので、

$$ z=\frac{\beta+3i\alpha}{1+3i} $$

である。

解説

この問題の中心は、複素数の比

$$ \frac{z-\beta}{z-\alpha} $$

を「距離の比」と「偏角の差」として読むことである。

偏角が $-\dfrac{\pi}{2}$ で、絶対値が $r$ であるから、この比を $-ri$ と置ける。この置き換えにより、$z$ の動きは $r$ という実数パラメータだけで表される。

その後は

$$ |z-\alpha|+|z-\beta| $$

を $r$ の関数に直し、区間 $\dfrac{1}{2}\leq r\leq 3$ で最大値・最小値を調べればよい。

最小値をとる $z$ については、単に最小値を代入するだけでなく、最小値が $r=3$ でのみ得られることを確認する必要がある。

答え

(1)

$$ \frac{4}{\sqrt{10}}|\beta-\alpha| \leq |z-\alpha|+|z-\beta| \leq \sqrt{2}|\beta-\alpha| $$

(2)

$$ z=\frac{\beta+3i\alpha}{1+3i} $$