数学C 複素数平面(軌跡問題) 問題 2 解説

方針・初手

条件に含まれる $t$ は実数であり、$it$ は複素平面上で純虚数方向、すなわち縦方向の移動を表す。

したがって、$\alpha$ を固定したとき、$1+\alpha+it$ は複素平面上のある縦直線上を動く。この縦直線が原点中心半径 $1$ の円板

$$ |z|\leqq 1 $$

と交わる条件を考えればよい。

解法1

$\alpha=x+yi$ とおく。ただし $x,y$ は実数である。

このとき

$$ 1+\alpha+it=1+x+(y+t)i $$

であるから、条件

$$ |it+1+\alpha|\leqq 1 $$

は

$$ (1+x)^2+(y+t)^2\leqq 1 $$

となる。

ここで $t$ は任意の実数として選べるので、$y+t$ も任意の実数の値をとることができる。したがって、左辺を最小にするには

$$ y+t=0 $$

すなわち

$$ t=-y $$

とすればよい。

このとき最小値は

$$ (1+x)^2 $$

である。よって、ある実数 $t$ が存在して

$$ (1+x)^2+(y+t)^2\leqq 1 $$

となるための必要十分条件は

$$ (1+x)^2\leqq 1 $$

である。

これを解くと

$$ -1\leqq 1+x\leqq 1 $$

より

$$ -2\leqq x\leqq 0 $$

を得る。

したがって、$\alpha=x+yi$ の虚部 $y$ には制限がなく、実部 $x$ だけが

$$ -2\leqq \operatorname{Re}\alpha \leqq 0 $$

を満たせばよい。

解説

$t$ が実数であることから、$it$ は虚軸方向の移動を表す。つまり、$\alpha$ を固定すると $1+\alpha+it$ は縦直線上を動く。

この縦直線が単位円板 $|z|\leqq 1$ と交わるかどうかは、その縦直線と原点との距離で決まる。縦直線の実部は $1+\operatorname{Re}\alpha$ で一定なので、原点からの最短距離は

$$ |1+\operatorname{Re}\alpha| $$

である。

これが $1$ 以下であれば単位円板と交わるため、

$$ |1+\operatorname{Re}\alpha|\leqq 1 $$

すなわち

$$ -2\leqq \operatorname{Re}\alpha\leqq 0 $$

となる。

図示すると、複素平面上で直線 $\operatorname{Re}\alpha=-2$ と直線 $\operatorname{Re}\alpha=0$ に挟まれた、境界を含む縦の帯状領域である。

答え

求める $\alpha$ の範囲は

$$ -2\leqq \operatorname{Re}\alpha\leqq 0 $$

である。

複素平面上では、直線 $\operatorname{Re}\alpha=-2$ と直線 $\operatorname{Re}\alpha=0$ に挟まれた、境界を含む縦の帯状領域である。